\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1 denkleminin (0, 2\pi) açık aralığı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1

denkleminin $(0, 2\pi)$ açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı $k\pi$ radyandır.

Buna göre, $k$ değeri kaçtır?

Answer: 4

Answer

Denklemin verilen aralıktaki gerçel köklerinin toplamı 4\pi radyan olup, k değeri 4 olarak bulunur.

Verilen denklem payda eşitleme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirildiğinde cos(2x) = 1/4 denklemine indirgenir. Paydayı sıfır yapan sin(2x) = 0 değerleri elendikten sonra, cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki 4 farklı kökü simetri yardımıyla toplandığında 4π elde edilir. Bu nedenle k değeri 4 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

Denklemin tanımlı olduğu kümeyi ve paydaları sıfır yapan değerleri belirleyin.

sin(x) ≠ 0 ve cos(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu durum sin(2x) ≠ 0 olmasını gerektirir. Dolayısıyla x ≠ π/2, x ≠ π ve x ≠ 3π/2 olmalıdır.

Tanımsızlığa yol açan x değerleri çözüm kümesinden dışlanmalıdır.

Sol taraftaki rasyonel ifadeyi payda eşitleyerek sadeleştirin.

Payda eşitleme sonucunda sol taraf [sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x)] / [sin(x)cos(x)] haline gelir. Toplam formülünden pay sin(4x), yarım açı formülünden payda (1/2)sin(2x) olur. Denklem 2sin(4x) / sin(2x) = 1 biçimine dönüşür. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) açılımı yapılıp sin(2x) ≠ 0 koşulu altında sadeleştirme uygulandığında 4cos(2x) = 1 elde edilir.

Trigonometrik toplam ve yarım açı formülleri kullanılarak denklem en sade biçimine getirilir.

cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.

2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında u ∈ (0, 4π) olur. cos(u) = 1/4 denkleminin bu aralıkta 4 kökü vardır: u₁ = θ, u₂ = 2π - θ, u₃ = 2π + θ, u₄ = 4π - θ (burada θ ∈ (0, π/2) ve cos(θ) = 1/4). Buradan x değerleri sırasıyla x₁ = θ/2, x₂ = π - θ/2, x₃ = π + θ/2, x₄ = 2π - θ/2 olarak bulunur. Bu değerlerin hiçbiri dışlanan değerlerle çakışmaz.

cos(2x) = 1/4 denklemini sağlayan açıların simetrik konumları belirlenir.

Kökleri toplayıp k değerini elde edin.

Köklerin toplamı (θ/2) + (π - θ/2) + (π + θ/2) + (2π - θ/2) = 4π radyandır. Buradan k = 4 bulunur.

Tüm geçerli köklerin toplamı alınarak kπ ifadesine eşitlenir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde payda sınırlamalarının kontrolü ve simetri yoluyla kökler toplamının bulunması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic