Tanımlı olduğu aralıkta f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \frac{f(x-2) \cdot (x-1)}{3-x} \geq 0 \neşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Tanımlı olduğu aralıkta f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \frac{f(x-2) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı olduğu aralıkta

f(x) = x^2 - 2x - 8

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

\frac{f(x-2) \cdot (x-1)}{3-x} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

A
-7
B
2
C
6
16Answer
E
19

Answer

Eşitsizliğini sağlayan

x

tam say��larının toplamı 16'dır.

Eşitsizlik tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi

[0, 1] \cup (3, 6]

aralığı olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar

0, 1, 4, 5

6

olup toplamları 16'dır.

Step-by-Step Solution

f(x) = x^2 - 2x - 8

fonksiyonunun köklerini bulalım.

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0

denkleminden kökler

x = 4

x = -2

olarak bulunur.

f(x-2)

ifadesinin köklerini elde etmek için öncelikle

f(x)

'in köklerini belirlememiz gerekir.

f(x-2)

ifadesinin köklerini bulalım.

f(x)

'in köklerini 2 birim sağa öteleyerek

x_1 = -2 + 2 = 0

x_2 = 4 + 2 = 6

köklerini elde ederiz. Yani

f(x-2) = x(x-6)

olur.

Yatay öteleme kuralına göre,

f(x-c)

ifadesinin kökleri,

f(x)

'in köklerinin

c

birim sağa ötelenmiş halidir.

Eşitsizliği oluşturan tüm çarpanların köklerini ve paydanın kökünü belirleyelim.

Eşitsizlik:

\frac{x(x-6)(x-1)}{3-x} \geq 0

şekline dönüşür. Payın kökleri

x = 0

x = 1

x = 6

(dahil) ve paydanın kökü

x = 3

(dahil değil) olarak bulunur.

Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için pay ve paydadaki tüm çarpanların köklerini bulmalıyız.

Kökleri tabloya yerleştirip işaret incelemesi yapalım.

Sıralı kökler:

0, 1, 3, 6

. En sağdaki aralıkta derecesi en büyük olan terimlerin katsayılarının işareti

\frac{(+)\cdot(+)\cdot(+)}{(-)} = (-)

olduğu için tabloya en sağdan (

-

) ile başlanır. İşaret tablosu şu şekildedir:

$x$	$-\infty$	$0$	$1$	$3$	$6$	$\infty$
$g(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$+$	$0$	$-$

İşaret tablosu sayesinde eşitsizliğin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar tespit edilir.

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulup toplayalım.

Çözüm kümesi

[0, 1] \cup (3, 6]

aralığıdır. Buradaki tam sayılar

0, 1, 4, 5, 6

olup toplamları

0 + 1 + 4 + 5 + 6 = 16

olur.

Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Alternative Method

Eşitsizliği çözmek için f(x-2) fonksiyonunu bulmak yerine f(x) fonksiyonunun köklerini bulup bu kökleri 2 birim sağa öteleyerek f(x-2)'nin köklerini doğrudan elde edebiliriz.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic