Examkin

Question

Difficulty: HardParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−3x+1y = x^2 - 3x + 1 parabolüne üzerindeki bir AA noktasından çizilen teğet doğrusu, y=x2−7x+13y = x^2 - 7x + 13 parabolüne de BB noktasında teğettir. Buna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    2\sqrt{2}
  2. B
    22
  3. 222\sqrt{2}Answer
  4. D
    44
  5. E
    424\sqrt{2}

Answer

Teğet noktaları arasındaki uzaklık 222\sqrt{2} birimdir.
Ortak teğet doğrusunun denklemi olan y=x−3y = x - 3 doğrusu ile parabollerin ortak çözümünden elde edilen teğet noktaları sırasıyla A(2,−1)A(2, -1) ve B(4,1)B(4, 1) olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık, iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle (4−2)2+(1−(−1))2=22\sqrt{(4-2)^2 + (1 - (-1))^2} = 2\sqrt{2} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Ortak teğet doğrusunun denklemini tanımlama
Ortak teğet doğrusu y=mx+ny = mx + n olsun.
Her iki parabole de teğet olan doğrunun eğimini (mm) ve yy eksenini kestiği noktayı (nn) bulmak i��in genel bir doğru modeli oluşturulur.
2
Birinci parabol ile doğrunun teğetlik şartını (diskriminant) uygulama
x2−3x+1=mx+n⇒x2−(m+3)x+(1−n)=0x^2 - 3x + 1 = mx + n \Rightarrow x^2 - (m+3)x + (1-n) = 0 denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ1=(m+3)2−4(1−n)=0⇒4(1−n)=(m+3)2\Delta_1 = (m+3)^2 - 4(1-n) = 0 \Rightarrow 4(1-n) = (m+3)^2.
Bir doğru bir parabole teğet ise, ortak çözümlerinden elde edilen ikinci dereceden denklemin çakışık iki kökü olmalıdır, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.
3
İkinci parabol ile doğrunun teğetlik şartını uygulama
x2−7x+13=mx+n⇒x2−(m+7)x+(13−n)=0x^2 - 7x + 13 = mx + n \Rightarrow x^2 - (m+7)x + (13-n) = 0 denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ2=(m+7)2−4(13−n)=0⇒4(13−n)=(m+7)2\Delta_2 = (m+7)^2 - 4(13-n) = 0 \Rightarrow 4(13-n) = (m+7)^2.
Doğru aynı zamanda ikinci parabole de teğet olduğundan, bu ortak çözüm denkleminin de diskriminantı sıfır olmalıdır.
4
Denklemleri ortak çözerek doğrunun eğimini (mm) bulma
4(13−n)=52−4n4(13-n) = 52 - 4n ve 4(1−n)=4−4n4(1-n) = 4 - 4n ifadelerini taraf tarafa çıkarırsak; 48=(m+7)2−(m+3)2⇒48=8m+40⇒8m=8⇒m=148 = (m+7)^2 - (m+3)^2 \Rightarrow 48 = 8m + 40 \Rightarrow 8m = 8 \Rightarrow m = 1 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki diskriminant denkleminden nn parametresini yok ederek tek bilinmeyenli mm değerine ulaşmak amaçlanır.
5
Doğrunun sabit terimini (nn) bulma ve denklem oluşturma
m=1m = 1 için 4(1−n)=16⇒1−n=4⇒n=−34(1-n) = 16 \Rightarrow 1-n = 4 \Rightarrow n = -3 bulunur. Ortak teğet doğrusunun denklemi y=x−3y = x - 3 olur.
Bulunan eğim değeri diskriminant denklemlerinden birinde yerine yazılarak doğrunun tam denklemi elde edilir.
6
Teğet noktaları olan AA ve BB koordinatlarını belirleme
Birinci parabol için: x2−4x+4=0⇒(x−2)2=0⇒xA=2x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_A = 2 ve yA=2−3=−1⇒A(2,−1)y_A = 2 - 3 = -1 \Rightarrow A(2, -1) bulunur. İkinci parabol için: x2−8x+16=0⇒(x−4)2=0⇒xB=4x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 = 0 \Rightarrow x_B = 4 ve yB=4−3=1⇒B(4,1)y_B = 4 - 3 = 1 \Rightarrow B(4, 1) bulunur.
Teğet noktalarının apsisleri, ortak çözüm denkleminin çakışık kökleridir. Ordinatlar ise doğrunun denkleminde apsislerin yerine yazılmasıyla elde edilir.
7
Teğet noktaları arasındaki uzaklığı hesaplama
∣AB∣=(4−2)2+(1−(−1))2=22+22=8=22|AB| = \sqrt{(4-2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} birim bulunur.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü (d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}) kullanılarak AA ve BB noktaları arasındaki mesafe hesaplanır.

Key Concept

İki parabolün ortak teğet doğrusunun bulunması ve teğet noktaları arasındaki uzaklığın diskriminant yardımıyla hesaplanması.
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic