Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu
f(x)={x2−4∣x−2∣+a,x<2b−x,2≤x<4∣x2−16∣x−4+1,x≥4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} + a, & x < 2 \\ b - x, & 2 \le x < 4 \\ \frac{|x^2 - 16|}{x - 4} + 1, & x \ge 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için limiti olduğuna göre, a+ba + b toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12
  2. B
    20
  3. C
    24
  4. D
    26
  5. 28Answer

Answer

a + b toplamının değeri 28'dir.
Fonksiyonun her noktada limitli olması için kritik noktalar olan x=2x=2 ve x=4x=4 noktalarında sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır. Yapılan incelemede sağdan ve soldan limitler eşitlendiğinde b=13b = 13 ve a=15a = 15 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2828 olur.

Step-by-Step Solution

1
x = 4 noktasındaki limitin varlığını inceleyelim.
lim⁡x→4−f(x)=b−4\lim_{x \to 4^-} f(x) = b - 4 ve lim⁡x→4+f(x)=9\lim_{x \to 4^+} f(x) = 9 bulunur. Buradan b=13b = 13 elde edilir.
ff fonksiyonunun x=4x = 4 noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→4+x \to 4^+ için x>4x > 4 olduğundan x2−16>0x^2 - 16 > 0 olur ve mutlak de��er dışına aynen çıkar.
2
x = 2 noktasındaki limitin varlığını inceleyelim.
lim⁡x→2+f(x)=11\lim_{x \to 2^+} f(x) = 11 ve lim⁡x→2−f(x)=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 + a bulunur. Buradan a=15a = 15 elde edilir.
ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x−2<0x - 2 < 0 olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar.
3
Bulunan a ve b değerlerinin toplamını hesaplayalım.
a+b=15+13=28a + b = 15 + 13 = 28
Soruda bizden istenen a + b toplamı değerini bulmak.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının kritik noktalarındaki limit varlığı, sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile belirlenir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasına yaklaşım yönüne göre işaret analizi yapılmalıdır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic