\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 2\cos(x) denkleminin [0, \pi] kapalı aralığındaki farklı ger… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 2\cos(x)

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

\frac{11\pi}{9}

Doğru cevap olan

\frac{11\pi}{9}

değeri, verilen denklemin sol tarafının sinüs toplam formülü yardımıyla

\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

biçimine getirilmesiyle bulunur. Bu denklemin genel çözümlerinden

[0, \pi]

aralığına uygun olan farklı gerçel kökler

\frac{\pi}{9}

\frac{7\pi}{9}

\frac{\pi}{3}

olarak elde edilir. Bu değerlerin toplamı

\frac{11\pi}{9}

radyandır.

Denklemin sol tarafını doğrusal kombinasyon özelliğini kullanarak tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade edelim.

\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x)

Eşitliğin sol tarafı

2

parantezine alındığında,

2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)

elde edilir. Her iki taraf

2

'ye bölünerek denklem sadeleştirilir.

Eşitliğin sağ tarafındaki kosinüs ifadesini tümler açı ilişkisini kullanarak sinüs cinsinden yazalım.

\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

özdeşliği sayesinde denklem çözülebilir sinüs eşitliği formuna getirilir.

Sinüs denkleminin çözüm kurallarını uygulayarak iki farklı genel çözüm durumunu belirleyelim.

Birinci durum:

x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}

İkinci durum:

x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

)

\sin(A) = \sin(B)

denkleminin genel çözümü

A = B + 2k\pi

A = \pi - B + 2k\pi

durumlarından oluşur.

Genel çözümlerde

k

yerine tam sayı değerleri vererek

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı gerçel kökleri bulalım ve toplayalım.

Kökler:

\frac{\pi}{9}

\frac{7\pi}{9}

\frac{\pi}{3}

Toplam:

\frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}

Bulunan genel çözümlerden sadece verilen

[0, \pi]

aralığına düşen değerler belirlenerek toplanır.

Trigonometrik denklemlerde doğrusal kombinasyonların dönüşümü ve belirli bir aralıktaki köklerin periyodik olarak bulunması.

Question