Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x(3x2−4)=3\log_x(3x^2 - 4) = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Denklemi sağlayan tek geçerli xx gerçel sayısı 2'dir.
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen x=2x = 2 değeri, logaritmanın taban (x>0x > 0, x≠1x \neq 1) ve argüman (3x2−4>03x^2 - 4 > 0) kurallarını eksiksiz olarak sağladığı için denklemin tek gerçel köküdür.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma tanım kümesi koşullarını belirleme
x>0x > 0, x≠1x \neq 1 ve 3x2−4>03x^2 - 4 > 0 olmalıdır.
Logaritmik ifadelerde taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise daima pozitif olmak zorundadır.
2
Logaritmik denklemi polinom denklemine dönüştürme
x3=3x2−4x^3 = 3x^2 - 4
log⁡a(b)=c  ⟺  ac=b\log_a(b) = c \iff a^c = b kuralı uygulanır.
3
Üçüncü dereceden polinom denklemini çarpanlarına ayırma
(x+1)(x−2)2=0(x+1)(x-2)^2 = 0
x3−3x2+4=0x^3 - 3x^2 + 4 = 0 denkleminde x=−1x = -1 için eşitlik sağlandığından denklem x+1x+1 ile tam bölünür. Bölme işlemi yapıldığında (x+1)(x2−4x+4)=0(x+1)(x^2 - 4x + 4) = 0 elde edilir.
4
Bulunan kökleri tanım kümesi koşullarına göre test etme
x=2x = 2 geçerli çözümdür, x=−1x = -1 elenir.
x=−1x = -1 değeri x>0x > 0 taban koşulunu ihlal eder. x=2x = 2 ise tüm koşulları sağlar (2>02 > 0, 2≠12 \neq 1 ve 3(2)2−4=8>03(2)^2 - 4 = 8 > 0).

Key Concept

Logaritmik ve üstel denklemlerin çözümü ve logaritma fonksiyonunun tanım kümesi sınırları.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic