Examkin

Question

Difficulty: MediumLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x) = \\begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\\\ 0, & x = 1 \\\\ x + 2, & 1 < x < 2 \\\\ 1, & x = 2 \\\\ 6 - x^2, & x > 2 \\end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→1+f(f(x+1))\lim_{x \to 1^+} f(f(x + 1))
limitinin değeri kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. 4Answer

Answer

4
Bileşke fonksiyonda limit hesaplanırken adım adım yaklaşım yönleri takip edilir. x→1+x \to 1^+ için x+1→2+x+1 \to 2^+ olur. x>2x > 2 bölgesinde f(x)=6−x2f(x) = 6 - x^2 olduğundan, 22 noktasına sağdan yaklaşırken f(x)f(x) değerleri 22 değerine küçük değerlerle yaklaşır (f(x)→2−f(x) \to 2^-). Dıştaki fonksiyonun limiti için 22 noktasına soldan yaklaşılır. x<2x < 2 bölgesinde fonksiyon f(x)=x+2f(x) = x + 2 olduğundan limit 2+2=42 + 2 = 4 olur.

Step-by-Step Solution

1
İçteki ifadenin limit yaklaşımını belirleme
x→1+x \to 1^+ iken u=x+1→2+u = x + 1 \to 2^+ olur.
xx, 11 değerine sağdan (11'den büyük değerlerle) yaklaşırken, x+1x+1 ifadesi de 22 değerine sağdan (22'den büyük değerlerle) yaklaşır.
2
İç fonksiyonun limit değerini ve yaklaşım yönünü bulma
u→2+u \to 2^+ iken f(u)→2−f(u) \to 2^- olur.
u>2u > 2 aralığında fonksiyon f(u)=6−u2f(u) = 6 - u^2 olarak tanımlıdır. uu, 22'ye sağdan yaklaşırken u2u^2 ifadesi 44'e sağdan (44'ten büyük değerlerle) yaklaşır. Dolayısıyla 6−u26 - u^2 ifadesi 22 değerine soldan (22'ten küçük değerlerle) yaklaşır.
3
Dış fonksiyonun limitini hesaplama
lim⁡t→2−f(t)=4\lim_{t \to 2^-} f(t) = 4 olur.
İkinci adımda elde edilen f(u)→2−f(u) \to 2^- yaklaşımı nedeniyle dıştaki limit lim⁡t→2−f(t)\lim_{t \to 2^-} f(t) biçimine dönüşür. t<2t < 2 aralığında fonksiyon f(t)=t+2f(t) = t + 2 olarak tanımlı olduğundan, bu aralıktaki limit değeri 2+2=42 + 2 = 4 olarak bulunur.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda limit hesaplanırken, içteki fonksiyonun limit değerinin yanı sıra bu değere hangi yönden (sağdan veya soldan) yaklaşıldığı belirlenmeli ve dıştaki limit bu yaklaşım yönüne göre hesaplanmalıdır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

More questions from this topic