Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişken Değiştirme Yöntemi
f:[1,2]→Rf: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫128x2⋅f(2x) dx\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    -96
  2. B
    -48
  3. 48Answer
  4. D
    24
  5. E
    96

Answer

İntegralin değeri 48 olarak bulunur.
Dönüşüm kurallarına göre u=2xu = \frac{2}{x} seçildiğinde integral sınırları 22 ve 11 olur. Diferansiyel ifadesindeki eksi işareti sınırların sırasını tersine çevirmek için kullanıldığında integral pozitif 4 katına çıkar ve verilen değerle çarpılarak 48 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=2xu = \frac{2}{x} dönüşümü seçilir.
İntegral içindeki ff fonksiyonunun argümanını sadeleştirmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Dönü��ümün diferansiyeli hesaplanır.
du=−2x2 dx  ⟹  1x2 dx=−12 dudu = -\frac{2}{x^2} \, dx \implies \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegraldeki 1x2 dx\frac{1}{x^2} \, dx ifadesinin yerine uu cinsinden ne yazılacağını bulmak için diferansiyel alınır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=21=2x = 1 \implies u = \frac{2}{1} = 2 ve x=2  ⟹  u=22=1x = 2 \implies u = \frac{2}{2} = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
4
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır ve hesaplanır.
∫128x2⋅f(2x) dx=8∫21f(u)⋅(−12 du)=−4∫21f(u) du=4∫12f(u) du\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx = 8 \int_{2}^{1} f(u) \cdot \left(-\frac{1}{2} \, du\right) = -4 \int_{2}^{1} f(u) \, du = 4 \int_{1}^{2} f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir.
5
Verilen integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.
4∫12f(u) du=4⋅12=484 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 \cdot 12 = 48 bulunur.
Soruda verilen ∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 eşitliği kullanılarak nihai değer hesaplanır.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic