\log_2(2^x + 6) = 2x - 3 denklemini sağlayan x gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2(2^x + 6) = 2x - 3

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$1 + \log_2 3$
$2 + \log_2 3$ Answer
C
$3$
D
$2$
E
$-2$

Answer

İki artı logaritma iki tabanında üç

Verilen denklem düzenlendiğinde

2^x + 6 = \frac{(2^x)^2}{8}

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemde

2^x = t

dönüşümü yapıldığında

t^2 - 8t - 48 = 0

bulunur. Bu denklemin pozitif kökü

t = 12

olduğundan

2^x = 12

eşitliği kurulur. Buradan

x = \log_2 12 = 2 + \log_2 3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Logaritmalı denklemi, logaritma tanımını kullanarak üstel forma dönüştürün.

2^x + 6 = 2^{2x - 3}

Logaritma tanımı gereğince

\log_a(b) = c \iff b = a^c

eşitliği uygulanır.

Eşitliğin sağ tarafındaki üstel ifadeyi taban özellikleri yardımıyla düzenleyin.

2^{2x - 3} = \frac{2^{2x}}{2^3} = \frac{(2^x)^2}{8}

Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme ve üssün üssü kuralları uygulanarak değişken de��iştirilmeye uygun hale getirilir.

2^x = t

değişken değiştirmesini yapın (burada

t > 0

olmalıdır).

t + 6 = \frac{t^2}{8} \implies t^2 - 8t - 48 = 0

İfadeyi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürerek ç��zümü kolaylaştırmak amaçlanır.

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.

(t - 12)(t + 4) = 0 \implies t = 12 \text{ veya } t = -4

Çarpımları

-48

ve toplamları

-8

olan iki sayı belirlenerek denklem çarpanlarına ayrılır.

Değişken değiştirme koşuluna göre kökleri kontrol edin.

t = 12 \implies 2^x = 12

2^x

üstel ifadesi her

x

gerçel sayısı için daima pozitif olmak zorundadır. Bu nedenle

t = -4

kökü (

2^x = -4

) çözüm kümesine dahil edilemez.

2^x = 12

eşitliğini logaritma yardımıyla çözün ve sadeleştirin.

x = \log_2 12 = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3

Logaritmanın çarpım kuralı (

\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

) kullanılarak ifade sade bir forma dönüştürülür.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin üstel formlara dönüştürülmesi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denklem analizi ve üstel ifadelerin tanım kümesi sınırlamaları.

Alternative Method

Denklemde seçenekler tek tek

x

yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Doğru cevap olan

x = 2 + \log_2 3 = \log_2 12

değeri denklemde yerine yazıldığında, sol taraf

\log_2(12 + 6) = \log_2 18

olur. Sağ taraf ise

2\log_2 12 - 3 = \log_2 144 - \log_2 8 = \log_2(144/8) = \log_2 18

olur. İki taraf birbirine eşit olduğundan çözüm doğrulanır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic