Examkin

Question

Difficulty: EasyÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x+1)=log⁡4(9)\log_2(x + 1) = \log_4(9)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 2'dir.
Logaritmanın üs özellikleri kullanılarak log⁡4(9)\log_4(9) ifadesi log⁡2(3)\log_2(3) olarak sadeleştirilir. Tabanlar eşitlendikten sonra argümanların eşitliğinden x+1=3x + 1 = 3 denklemi çözülerek doğru sonuca (2) ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin sağ tarafında bulunan log⁡4(9)\log_4(9) ifadesini taban değiştirme ve üs kurallarını kullanarak sadeleştirin.
log⁡4(9)=log⁡22(32)=22log⁡2(3)=log⁡2(3)\log_4(9) = \log_{2^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_2(3) = \log_2(3) elde edilir.
Logaritmik denklemleri çözebilmek için her iki tarafın tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Sadeleştirilmiş ifadeyi denklemde yerine yazın ve logaritma fonksiyonunun bire bir özelliğini uygulayın.
log⁡2(x+1)=log⁡2(3)⇒x+1=3\log_2(x+1) = \log_2(3) \Rightarrow x + 1 = 3 olur.
Tabanları aynı olan iki logaritma ifadesi eşitse, argümanları da eşit olmalıdır.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün ve bulunan değerin logaritmanın tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=2x = 2 bulunur. x=2x = 2 için x+1=3>0x + 1 = 3 > 0 olduğundan bu değer tanım kümesini sağlar.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması gerekir.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban eşitleme ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic