Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cdot (25 - x^2)} \geq 0 \neşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cdot (25 - x^2)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: -2

Answer

Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı -2'dir.

İşaret tablosu doğru oluşturulup payda kökleri dışlandığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3} olarak elde edilir. Bu sayıların toplamı -2'dir.

Step-by-Step Solution

Payın köklerini ve bu köklerin katlarını belirleme.

|x - 2| - 3 = 0 \implies x = 5

(1. kat) ve

x = -1

(1. kat).

(x^2 - 9)^2 = 0 \implies x = 3

(2. kat, çift katlı) ve

x = -3

(2. kat, çift katlı).

Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulup işaret tablosuna yerleştirmek gerekir.

Paydanın köklerini belirleme ve tanımsızlık koşullarını yazma.

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4

(payda kökü, 1. kat) ve

x = -2

(payda kökü, 1. kat).

25 - x^2 = 0 \implies (5 - x)(5 + x) = 0 \implies x = 5

(payda kökü, 1. kat) ve

x = -5

(payda kökü, 1. kat). Payda kökleri (

x \neq 4, -2, 5, -5

) çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.

Köklerin net katlarını analiz etme.

x = 5

kökü hem payın hem paydanın köküdür. Her ikisinde de 1. kattan olduğu için ifadenin genelinde çift katlı kök gibi davranır (işaret değiştirmez), ancak paydada da bulunduğu için çözüm kümesine alınamaz (

x \neq 5

). Diğer köklerin net katları tektir.

Aynı kökten hem pay hem paydada bulunması durumunda katların toplamı alınarak işaret değişimi incelenir.

İşaret tablosunu oluşturma.

En sağ aralık olan

x > 5

için ifadenin işareti negatiftir (

-

). İşaret tablosu:

x \in (5, \infty) \implies -

x \in (4, 5) \implies -

x \in (3, 4) \implies +

x \in (-1, 3) \implies +

x \in (-2, -1) \implies -

x \in (-3, -2) \implies +

x \in (-5, -3) \implies +

x \in (-\infty, -5) \implies -

Baş katsayıların ve mutlak değerli terimlerin işaretleri incelenerek en sağ aralığın işareti belirlenir ve köklerden geçerken işaret değiştirilir.

Çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama.

Eşitsizliğin

\geq 0

olduğu çözüm kümesi:

(-5, -2) \cup [-1, 4)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar:

-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3

'tür. Toplamları ise:

(-4) + (-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -2

olur.

Eşitsizliği sağlayan aralıklardaki tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin hariç tutulması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve ortak köklerin kat analizi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic