Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesinde tanıml��
f(x)={∣x2−4x+3∣x−3,x<3x2−2x−a,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3}, & x < 3 \\ x^2 - 2x - a, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır.

Answer: Answer

Answer

Verilen fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır ifadesi doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun kritik noktası olan x=3x = 3 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin eşitlenmesi sonucunda a=5a = 5 değeri elde edilir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x=3x = 3 noktasındaki soldan limitin hesaplanması için mutlak değerli ifadenin işaretinin incelenmesi
x<3x < 3 için x2−4x+3<0x^2 - 4x + 3 < 0 olduğundan ∣x2−4x+3∣=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x-3)(x-1) olur.
Soldan yaklaşırken xx değerleri 3'ten küçük olduğu için çarpanların işaretlerini belirleyerek mutlak değer dışına nasıl çıkacağını bulmak gerekir.
2
Soldan limit değerinin bulunması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−−(x−3)(x−1)x−3=lim⁡x→3−−(x−1)=−2\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} -(x-1) = -2
Pay ve paydadaki (x−3)(x-3) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
3
Sağdan limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
lim⁡x→3+f(x)=3−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - a ve soldan limit ile eşitlenirse 3−a=−2  ⟹  a=53 - a = -2 \implies a = 5 bulunur.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması zorunludur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemesinde sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile mutlak değerin işaret analizinin yapılması.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic