x \in [0, \pi] olmak üzere, \sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) = \sqrt{3} denkleminin farklı gerç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in [0, \pi]

olmak üzere,

\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) = \sqrt{3}

denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Farklı gerçel köklerin toplamı \frac{5\pi}{6} radyandır.

Denklemin

[0, \pi]

aralığındaki farklı gerçel kökleri

x = \frac{\pi}{3}

x = \frac{\pi}{2}

olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan

\frac{5\pi}{6}

değerini içeren seçenek doğrudur.

Denklemdeki çift açı formüllerini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırma formatına getirelim.

\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1

özdeşliklerini denklemde yerine yazalım:

2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}(2\cos^2(x) - 1) = \sqrt{3}

2\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) + \sqrt{3} = \sqrt{3}

2\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) = 0

Trigonometrik denklemleri çözmek için ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak en temel yöntemlerden biridir.

Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alalım.

2\cos(x)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.

Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.

2\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = 0

[0, \pi]

aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer

x = \frac{\pi}{2}

'dir.

2)

\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x)

. Her iki tarafı

\cos(x)

'e bölersek (çünkü

\cos(x) = 0

durumunu ayrı inceledik)

\tan(x) = \sqrt{3}

elde ederiz.

[0, \pi]

aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer

x = \frac{\pi}{3}

'tür.

Belirtilen

[0, \pi]

tanım aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz belirlemek gerekir.

Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayalım.

\text{Kökler toplamı} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

Soruda bizden istenen kökler toplamı değerini bulmak.

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma ve yarım açı formülleri yardımıyla çözülmesi

Question