Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x−2∣x−2+a,x<22x−5,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x - 2|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 2x - 5, & x \ge 2 \end{cases}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 00 olmalıdır ifadesi doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

İfade doğrudur. Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Sağ limit −1-1 ve sol limit −1+a-1 + a olduğundan a=0a = 0 olmalıdır.
Fonksiyonun x=2x = 2 kritik noktasındaki sağ limiti −1-1 ve soldan limiti mutlak değer işaret analiziyle −1+a-1 + a olarak bulunur. Limitin varlığı için bu iki değer eşitlenmelidir: −1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0 bulunur. Bu nedenle önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x=2x = 2 noktasındaki sağdan limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(2x−5)=2(2)−5=−1\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 5) = 2(2) - 5 = -1
x>2x > 2 için fonksiyon f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 kuralıyla tanımlıdır.
2
x=2x = 2 noktasındaki soldan limiti hesaplayın.
x<2x < 2 için x−2<0x - 2 < 0 olduğundan ∣x−2∣=−(x−2)|x - 2| = -(x - 2) olur. Buradan lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)x−2+a)=−1+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-(x - 2)}{x - 2} + a\right) = -1 + a elde edilir.
x<2x < 2 için fonksiyon f(x)=∣x−2∣x−2+af(x) = \frac{|x - 2|}{x - 2} + a kuralıyla tanımlıdır ve mutlak değerin içi negatiftir.
3
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek aa değerini bulun.
−1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların sınır noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic