a ve b gerçel sayılar olmak üzere, f fonksiyonu x < 2 için f(x) = \frac{|x^2 - 2x|}{x - 2}… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $f$ fonksiyonu $x < 2$ için

f(x) = \frac{|x^2 - 2x|}{x - 2} + a

ve $x \ge 2$ için

f(x) = 2x - b

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında limiti olduğuna göre, $a + b$ toplamının değeri kaçtır?

Doğru seçenekteki 6 değeri, sol limit ve sağ limitin birbirine eşitlenmesiyle bulunur.

x \to 2^-

yaklaşımında

x < 2

olduğundan

x^2 - 2x < 0

olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme yapıldığında sol limit

-2 + a

olur.

x \to 2^+

yaklaşımında ise limit

4 - b

bulunur. Eşitlikten

a + b = 6

elde edilir.

x = 2

noktasındaki sol limiti bulmak için

x < 2

durumunu inceleme ve mutlak değerin işaretini belirleme.

x \to 2^-

için

x < 2

olduğundan

x^2 - 2x = x(x-2) < 0

olur. Bu durumda

|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x)

olarak dışarı çıkar.

Kritik noktaya soldan yaklaşırken mutlak değerin içinin işaretine göre ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

Sol limit değerini hesaplama.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-x(x-2)}{x-2} + a\right) = \lim_{x \to 2^-} (-x + a) = -2 + a

Belirsizliğe neden olan

x-2

çarpanlarını sadeleştirdikten sonra

x

yerine 2 yazarak sol limiti buluruz.

x = 2

noktasındaki sağ limiti bulmak için

x \ge 2

durumunu inceleme.

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - b) = 2(2) - b = 4 - b

Sağdan yaklaşırken

x \ge 2

aralığı için tanımlı olan

2x - b

kuralı kullanılır.

Limitin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşitleme.

-2 + a = 4 - b \implies a + b = 6

Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.

Par��alı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinin bulunması, kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi yapılması.

Question