Examkin

Question

Difficulty: EasyÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x−4)2⋅(x+1)x−2≤0 \frac{(x - 4)^2 \cdot (x + 1)}{x - 2} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx doğal sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    3
  3. 5Answer
  4. D
    7
  5. E
    8

Answer

Eşitsizliği sağlayan doğal sayıların toplamı 5'tir.
Eşitsizliği sağlayan doğal sayılar 0, 1 ve 4'tür. Bu sayıların toplamı 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini bulma.
Pay kısmındaki kökler x=4x = 4 (çift katlı kök) ve x=−1x = -1 (tek katlı kök) olarak bulunur. Payda kısmındaki kök ise x=2x = 2 (tek katlı kök) olarak elde edilir.
Eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlarını belirlemeliyiz.
2
İşaret tablosunu oluşturma ve bölgelerin işaretlerini belirleme.
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4 için) ifadenin işareti pozitif (+)(+) ile başlar. x=4x = 4 çift katlı kök olduğu için işaret değişmez, (+)(+) olarak kalır. x=2x = 2 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve negatif (−)(-) olur. x=−1x = -1 tek katlı kökünden geçerken işaret tekrar değişir ve pozitif (+)(+) olur.
Eşitsizlikteki terimlerin en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpımı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır ve köklerin tek veya çift katlı olma durumuna göre işaretler belirlenir.
3
Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini yazma.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit (≤0)(\leq 0) olduğu aralık [−1,2)[-1, 2) yarı açık aralığıdır. Ayrıca payı sıfır yapan x=4x = 4 değeri de eşitsizliği sağladığı için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} olur. Paydanın kökü olan x=2x = 2 ise paydayı sıfır yapıp tanımsızlığa yol açtığı için dahil edilmez.
Negatif olan bölgeler ile ifadeyi sıfır yapan ve tanımsız yapmayan kökler birleştirilerek en geniş çözüm kümesi oluşturulur.
4
Çözüm kümesindeki doğal sayıları belirleme ve toplama.
[−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} kümesindeki doğal sayılar 0,10, 1 ve 44 olarak belirlenir. Bu sayıların toplamı 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 olur.
Sadece doğal sayı (negatif olmayan tam sayı) olan çözümler seçilerek toplanır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerinin işaret tablosu yardımıyla bulunması, paydanın köklerinin hariç tutulması ve çift katlı köklerin incelenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic