Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, sin⁡(3x)+cos⁡(x)=0\sin(3x) + \cos(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.

Answer: Answer

Answer

Doğru
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümü yapıldığında, bölge dönüşümü doğru uygulanarak elde edilen genel çözümlerden üç farklı gerçel kök elde edilir. Bu nedenle önermede belirtilen kök sayısının 3 olduğu bilgisi doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak denklemi tek bir fonksiyon türüne dönüştürme
sin⁡(3x)=−cos⁡(x)\sin(3x) = -\cos(x) ve ardından −cos⁡(x)=sin⁡(x−π2)-\cos(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) eşitliği elde edilir.
Denklemi çözebilmek için her iki tarafı da aynı trigonometrik fonksiyon (bu durumda sinüs) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Sinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
İki durum ortaya çıkar:
1) 3x=x−π2+2kπ3x = x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
2) 3x=π−(x−π2)+2kπ3x = \pi - \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(f(x))=sin⁡(g(x))\sin(f(x)) = \sin(g(x)) denkleminin genel çözümü f(x)=g(x)+2kπf(x) = g(x) + 2k\pi veya f(x)=π−g(x)+2kπf(x) = \pi - g(x) + 2k\pi şeklindedir.
3
Birinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
2x=−π2+2kπ⇒x=−π4+kπ2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=1k = 1 için x1=3π4x_1 = \frac{3\pi}{4} bulunur.
Birinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
4
İkinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
3x=3π2−x+2kπ⇒4x=3π2+2kπ⇒x=3π8+kπ23x = \frac{3\pi}{2} - x + 2k\pi \Rightarrow 4x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=0k = 0 için x2=3π8x_2 = \frac{3\pi}{8}
k=1k = 1 için x3=7π8x_3 = \frac{7\pi}{8} bulunur.
İkinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
5
Köklerin birleşimini alarak toplam kök sayısını belirleme
[0,π][0, \pi] aralığındaki çözüm kümesi C\c={3π8,3π4,7π8}Ç = \left\{\frac{3\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}\right\} olup eleman sayısı 3'tür.
Her iki durumdan gelen tüm farklı kökler birleştirilerek nihai çözüm kümesi oluşturulur.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin genel çözüm kümesinin bulunması ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic