Analitik düzlemde, y = x^2 - mx + 1 parabolü ile y = x - 3 doğrusu farklı iki noktada kesi… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde, $y = x^2 - mx + 1$ parabolü ile $y = x - 3$ doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatları toplamı $4$ olduğuna göre, $m$ kaçtır?

A
3
6Answer
C
8
D
10
E
13

Answer

Kesişim noktalarının apsisleri toplamının yarısı orta noktanın apsisini (

x_0 = \frac{m+1}{2}

) verir. Orta nokta doğrunun üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlar ve ordinatı (

y_0 = \frac{m-5}{2}

) olarak bulunur. Koordinatlar toplamı olan

m - 2 = 4

eşitliğinden aranan parametre

6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.

x^2 - mx + 1 = x - 3 \Rightarrow x^2 - (m+1)x + 4 = 0

denklemi elde edilir.

Kesişim noktalarının apsisleri bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.

Kesi��im noktaları

A

B

olsun. Bu noktaların oluşturduğu

[AB]

kirişinin orta noktasının apsisini (

x_0

) bulalım.

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+1}{2}

olur.

Kirişin orta noktanın apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasıdır.

Orta noktanın ordinatını (

y_0

) bulmak için bu noktanın doğru denklemini sağlaması gerektiği bilgisini kullanalım.

y_0 = x_0 - 3 = \frac{m+1}{2} - 3 = \frac{m-5}{2}

olur.

Orta nokta

[AB]

kirişi üzerinde, dolayısıyla

y = x - 3

doğrusu üzerindedir.

Orta noktanın koordinatları toplamını

4

'e eşitleyerek

m

değerini bulalım.

x_0 + y_0 = \frac{m+1}{2} + \frac{m-5}{2} = m - 2 = 4 \Rightarrow m = 6

elde edilir.

Soruda orta noktanın koordinatları toplamı

4

olarak verilmiştir.

Key Concept

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatlarının analitik yöntemlerle bulunması.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic