Examkin

Question

Difficulty: Very hardParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
f(x)={∣x2−4∣x−2+a⋅sin⁡(πx4),x<2x2−bx+3,2≤x≤42x−8∣x−4∣+c,x>4f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) & , \quad x < 2 \\ x^2 - bx + 3 & , \quad 2 \le x \le 4 \\ \frac{2x - 8}{|x - 4|} + c & , \quad x > 4 \end{cases}

f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için limiti olduğuna göre,

lim⁡x→3(2a−c)x2−9(2a−c)x−3\lim_{x \to 3} \frac{(2a-c)x^2 - 9(2a-c)}{x-3}

limitinin değeri kaçtır?

  1. A
    -66
  2. B
    -18
  3. C
    6
  4. D
    15
  5. 30Answer

Answer

Limit değeri 30'dur.
Doğru seçenekte verilen 3030 değeri, f(x)f(x) fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda limitinin olması koşulundan elde edilen a+2b=11a+2b=11 ve 4b+c=174b+c=17 denklemlerinin ortak çözümünden 2a−c=52a-c=5 bulunması ve bu değerin sorulan limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizliğin giderilmesi ile elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1
x=2x=2 kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.
a+2b=11a + 2b = 11
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2-4| = -(x^2-4) olur. Buradan sol limit: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x+2)+asin⁡(πx4))=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( -(x+2) + a\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \right) = -4 + a olur. Sağ limit: lim⁡x→2+f(x)=22−2b+3=7−2b\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 2b + 3 = 7 - 2b olur. Limit varlığı için −4+a=7−2b  ⟹  a+2b=11-4 + a = 7 - 2b \implies a + 2b = 11 elde edilir.
2
x=4x=4 kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.
4b+c=174b + c = 17
Sol limit: lim⁡x→4−f(x)=42−4b+3=19−4b\lim_{x \to 4^-} f(x) = 4^2 - 4b + 3 = 19 - 4b olur. x→4+x \to 4^+ için x>4x > 4 olduğundan ∣x−4∣=x−4|x-4| = x-4 olur. Buradan sağ limit: lim⁡x→4+f(x)=lim⁡x→4+(2(x−4)x−4+c)=2+c\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \left( \frac{2(x-4)}{x-4} + c \right) = 2 + c olur. Limit varlığı için 19−4b=2+c  ⟹  4b+c=1719 - 4b = 2 + c \implies 4b + c = 17 elde edilir.
3
Elde edilen denklemlerden 2a−c2a - c ifadesinin değeri hesaplanır.
2a−c=52a - c = 5
a+2b=11a + 2b = 11 denklemi 2 ile çarpılarak 2a+4b=222a + 4b = 22 elde edilir. Bu denklemden 4b+c=174b + c = 17 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında (2a+4b)−(4b+c)=22−17  ⟹  2a−c=5(2a + 4b) - (4b + c) = 22 - 17 \implies 2a - c = 5 bulunur.
4
Bulunan 2a−c2a - c değeri sorulan limit ifadesinde yerine yazılır ve belirsizlik giderilir.
30
2a−c=52a-c = 5 değeri yerine yazıldığında limit ifadesi lim⁡x→35(x2−9)x−3\lim_{x \to 3} \frac{5(x^2 - 9)}{x-3} şekline dönüşür. Burada 0/00/0 belirsizliği vardır. Pay çarpanlarına ayrılarak belirsizlik giderilir: lim⁡x→35(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→35(x+3)=5(3+3)=30\lim_{x \to 3} \frac{5(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} 5(x+3) = 5(3+3) = 30 bulunur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalardaki limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilmeli, limit noktası mutlak değerin içini sıfır yapıyorsa mutlaka işaret analizi yapılarak mutlak değer dışına çıkarma işlemi gerçekleştirilmelidir.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic