Belirli bir integral hesaplama sürecinde u = \sqrt{x} değişken değiştirmesi yapıldığında, … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Belirli bir integral hesaplama sürecinde

u = \sqrt{x}

değişken değiştirmesi yapıldığında, elde edilen yeni belirli integral

\int_{1}^{3} f(u) \, du

olmaktadır.
Buna göre, bu değişken değiştirme işlemi uygulanmadan önceki orijinal belirli integral aşağıdakilerden hangisidir?

İntegral sınırları 1 ile 9 arasında olan ve içinde f(kök(x)) bölü (2 kök(x)) ifadesini barındıran integral ifadesi doğrudur.

Doğru cevap,

u = \sqrt{x}

dönüşümünün diferansiyeli olan

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

bağıntısını ve sınırların

u = 1 \implies x = 1

ile

u = 3 \implies x = 9

şeklinde

x

değişkenine göre doğru güncellendiği integral ifadesidir.

Dönüşüm bağıntısı ve diferansiyel ilişkisini belirlemek.

u = \sqrt{x} \implies du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

elde edilir.

Orijinal integraldeki

dx

ifadesinin yeni integraldeki

du

ile ilişkisini kurabilmek için diferansiyel alınmalıdır.

İntegral sınırlarını

u

değişkeninden

x

değişkenine geri güncellemek.

Alt sınır için:

u = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1

. Üst sınır için:

u = 3 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9

Belirli integral sınırlarının, dönüşüm yapılan bağıntı kullanılarak orijinal

x

değişkeni cinsinden değerleri bulunmalıdır.

Elde edilen ifadeleri yeni integralde yerine yazarak orijinal integrali oluşturmak.

\int_{1}^{3} f(u) \, du = \int_{1}^{9} f(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx

Dönüşüm ve sınır değerleri yerine konularak başlangıçtaki orijinal integral ifadesine ulaşılır.

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi

Orijinal integral seçeneklerinde sırasıyla

u = \sqrt{x}

dönüşümü uygulanarak hangisinin

\int_{1}^{3} f(u) \, du

integralini verdiğine bakılabilir. Doğru seçenek olan integralde

u = \sqrt{x}

denirse,

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

olur. Sınırlar

x=1 \implies u=1

x=9 \implies u=3

olacağından integral doğrudan

\int_{1}^{3} f(u) \, du

biçimine dönüşür.

Estimated Time:1m 30s

Question