Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Denklemler
cos⁡(2x)−1sin⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\cos(2x) - 1}{\sin(x)} = \tan(x) denkleminin (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
  1. A
    π3\frac{\pi}{3}
  2. B
    2π3\frac{2\pi}{3}
  3. C
    4π3\frac{4\pi}{3}
  4. 2π2\piAnswer
  5. E
    3π3\pi

Answer

2π2\pi
Denklemin sadeleştirilmesi ve tanım kümesi kısıtlamalarının (paydaları sıfır yapan değerlerin elenmesi) uygulanmasıyla gerçel köklerin iki adet olduğu ve bunların 120 ve 240 derecelere karşılık gelen kökler olduğu bulunur. Bu köklerin toplamı olan değer doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirlemek.
sin⁡(x)≠0⇒x≠π\sin(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi ve cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} (Verilen (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığı için).
Orijinal denklemdeki paydaların sıfır olmaması gerekir.
2
cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesine yarım açı formülü uygulamak.
cos⁡(2x)−1=(1−2sin⁡2(x))−1=−2sin⁡2(x)\cos(2x) - 1 = (1 - 2\sin^2(x)) - 1 = -2\sin^2(x)
İfadeyi sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek.
3
Yarım açı sonucunu denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
−2sin⁡2(x)sin⁡(x)=tan⁡(x)⇒−2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{-2\sin^2(x)}{\sin(x)} = \tan(x) \Rightarrow -2\sin(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} (sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğu için).
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek.
4
Elde edilen denklemi çözerek temel trigonometrik denkleme ulaşmak.
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)⇒sin⁡(x)(2cos⁡(x)+1)=0-2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) \Rightarrow \sin(x)(2\cos(x) + 1) = 0. sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğundan cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Denklemin tüm terimlerini bir tarafa toplayıp çarpanlarına ayırmak.
5
cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulup toplamak.
x1=2π3x_1 = \frac{2\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3}. Toplam: 2π3+4π3=2π\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi.
(0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığında kosinüsü −1/2-1/2 olan açıları belirlemek.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri, sadeleştirme kuralları ve tanım kümesi kısıtlamalarının uygulanması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic