Examkin

Question

Difficulty: EasyÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
x−2x2−4≥0\frac{x - 2}{x^2 - 4} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
  1. A
    3
  2. 4Answer
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

En küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 4'tür.
Doğru seçenekte sunulan çözümde, ifadenin paydasını sıfır yapan x = 2 değeri çözüm kümesinden doğru bir şekilde çıkarılmış ve en küçük iki pozitif tam sayı 1 ile 3 olarak seçilip doğru toplam olan 4 elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayırın ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) olup, paydanın sıfır olmaması için x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 olmalıdır.
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
x−2(x−2)(x+2)≥0⇒1x+2≥0\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 2} \geq 0 (burada x≠2x \neq 2 koşulu saklı tutulur).
Ortak çarpanların sadeleştirilmesi işlemi kolaylaştırır ancak sadeleşen terimin kökünün tanımsızlık yarattığı unutulmamalıdır.
3
Sadeleşmiş eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
1x+2≥0⇒x+2>0⇒x>−2\frac{1}{x + 2} \geq 0 \Rightarrow x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2. Dolayısıyla çözüm kümesi (−2,∞)∖{2}(-2, \infty) \setminus \{2\} olur.
Pay pozitif bir sabit olduğundan, kesrin sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması için paydanın pozitif olması gerekir.
4
Çözüm kümesindeki en küçük iki farklı pozitif tam sayıyı belirleyin ve toplayın.
Pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3,4,… }\{1, 2, 3, 4, \dots\} şeklindedir. x≠2x \neq 2 olduğundan bu kümedeki en küçük iki değer 11 ve 33 olur. Toplamları ise 1+3=41 + 3 = 4 olarak bulunur.
İstenen koşula uygun en küçük değerleri bulup toplamı hesaplamak için tanımsızlık noktası olan 2 elenmelidir.

Key Concept

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilmez ve sadeleştirme yapılırken bu köklerin tanımsızlık oluşturduğu unutulmamalıdır.
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic