Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x(10−x)−log⁡10−x(x3)=2\log_x(10-x) - \log_{10-x}(x^3) = 2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    7
  3. C
    10
  4. 12Answer
  5. E
    14

Answer

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 12'dir.
Denklemin logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi sonucunda elde edilen reel kökler 2, 5−265-2\sqrt{6} ve 5+265+2\sqrt{6} değerleridir. Bu köklerin hepsi logaritmanın tanım kümesi şartlarını (tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın pozitif olması) sağlamaktadır. Bu üç kökün toplamı 12 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirlemek.
Tanım kümesi x∈(0,10)∖{1,9}x \in (0, 10) \setminus \{1, 9\} olarak bulunur.
Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Buradan x>0x > 0, x≠1x \neq 1, 10−x>0  ⟹  x<1010-x > 0 \implies x < 10 ve 10−x≠1  ⟹  x≠910-x \neq 1 \implies x \neq 9 elde edilir.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi düzenlemek.
log⁡x(10−x)−3log⁡10−x(x)=2\log_x(10-x) - 3\log_{10-x}(x) = 2 denklemi elde edilir.
log⁡10−x(x3)=3log⁡10−x(x)\log_{10-x}(x^3) = 3\log_{10-x}(x) özelliği kullanılarak denklem daha basit hale getirilir.
3
Değişken değiştirme uygulamak.
u2−2u−3=0u^2 - 2u - 3 = 0 denklemi elde edilir.
log⁡10−x(x)=1log⁡x(10−x)\log_{10-x}(x) = \frac{1}{\log_x(10-x)} olduğundan, log⁡x(10−x)=u\log_x(10-x) = u dönüşümü yapılarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek uu değerlerini bulmak.
u=3u = 3 ve u=−1u = -1 değerleri bulunur.
u2−2u−3=(u−3)(u+1)=0u^2 - 2u - 3 = (u-3)(u+1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülür.
5
Her bir uu değeri için xx değerlerini bulmak ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.
x=2x = 2, x=5+26x = 5 + 2\sqrt{6} ve x=5−26x = 5 - 2\sqrt{6} kökleri bulunur.
u=3u=3 için x3=10−x  ⟹  (x−2)(x2+2x+5)=0  ⟹  x=2x^3 = 10-x \implies (x-2)(x^2+2x+5)=0 \implies x=2 elde edilir. u=−1u=-1 için x−1=10−x  ⟹  x2−10x+1=0  ⟹  x=5±26x^{-1} = 10-x \implies x^2-10x+1=0 \implies x=5 \pm 2\sqrt{6} elde edilir. Bulunan tüm değerler tanım kümesindedir.
6
Tüm kökleri toplamak.
2+(5+26)+(5−26)=122 + (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 12 bulunur.
Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamıdır.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Değişken Değiştirme ve Taban Değiştirme Yöntemleriyle Çözülmesi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic