Examkin

Question

Difficulty: HardParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−2x+ky = x^2 - 2x + k parabolü ile y=4x+1y = 4x + 1 doğrusu verilmiştir. Parabolün bu doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 1212 olduğuna göre, bu doğrunun parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Answer: 272

Answer

Doğrunun parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklığın karesi 272'dir.
Parabol üzerindeki bir noktanın doğruya en yakın olduğu yer, parabole çizilen teğet doğrusunun verilen doğruya paralel olduğu değme noktasıdır. Bu nokta P(3, 9) olarak bulunur ve buradan parabolün k parametresi k = 6 elde edilir. Parabol ile doğrunun ortak çözümü sonucu kesişim noktaları A(1, 5) ve B(5, 21) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklığın karesi ise 272 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun eğimini belirleme
Teğet doğrusunun eğimi m = 4 olmalıdır.
Parabolün doğruya en yakın noktasındaki teğet, verilen doğruya paraleldir.
2
Teğetlik şartını kullanarak c parametresini k cinsinden yazma
c = k - 9
Ortak çözüm denkleminde teğetlik için diskriminant (Δ) sıfır olmalıdır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını k cinsinden bulma
P(3, 3 + k)
Apsisi ortak çözüm denkleminin kökünden, ordinatı ise parabol denkleminden hesaplanır.
4
Koordinatlar toplamını kullanarak k değerini bulma
k = 6 ve parabol denklemi y = x^2 - 2x + 6
Teğet noktasının koordinatları toplamı 12 olarak verilmiştir.
5
Parabol ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulma
x_1 = 1 ve x_2 = 5
Parabol ve doğrunun denklemleri ortak çözülür.
6
Kesim noktalarının ordinatlarını ve koordinatlarını bulma
A(1, 5) ve B(5, 21)
Bulunan apsis değerleri doğru denkleminde yerine yazılır.
7
Noktalar arasındaki uzaklığın karesini hesaplama
272
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır: |AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve en yakın nokta analizi
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic