Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x)f(x) fonksiyonuna sırasıyla aşağıdaki öteleme işlemleri uygulanıyor:

* f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği xx ekseni boyunca sağa doğru 44 birim ötelenerek g(x)g(x) fonksiyonu,
* f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği yy ekseni boyunca yukarı doğru 22 birim ötelenerek h(x)h(x) fonksiyonu

elde ediliyor. Buna göre, dik koordinat düzleminde

g(x)≤y≤h(x)g(x) \le y \le h(x)
y≤6y \le 6

eşitsizlik sisteminin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
  1. A
    11
  2. B
    18
  3. 27Answer
  4. D
    15
  5. E
    36

Answer

Sınırları belirlenen kapalı bölgenin alanı 27 birimkaredir.
Ötelemeler sonucunda oluşan g(x)=∣x−4∣g(x) = |x-4| ve h(x)=∣x∣+2h(x) = |x| + 2 fonksiyonları ile y=6y = 6 doğrusu arasında kalan bölge, köşeleri (1,3)(1,3), (4,6)(4,6), (10,6)(10,6) ve (4,0)(4,0) olan bir dörtgendir. Bu dörtgen x=4x=4 doğrusu boyunca bölündüğünde tabanı ortak ve 66 birim olan iki üçgene ayrılır. Bu üçgenlerin alanları toplamı 9+18=279 + 18 = 27 birimkare olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ötelenen fonksiyonların denklemlerini yazma
g(x)=∣x−4∣g(x) = |x-4| ve h(x)=∣x∣+2h(x) = |x| + 2
xx ekseninde sağa 44 birim öteleme f(x−4)f(x-4) dönüşümüne, yy ekseninde yukarı 22 birim öteleme ise f(x)+2f(x)+2 dönüşümüne karşılık gelir.
2
İki fonksiyonun kesişim noktasını bulma
x=1x = 1 için y=3y = 3 noktası
Bölgenin sol sınırını bulmak için g(x)=h(x)g(x) = h(x) eşitliği çözülür. ∣x−4∣=∣x∣+2|x-4| = |x| + 2 denkleminden x≥0x \ge 0 bölgesinde 4−x=x+2  ⟹  2x=2  ⟹  x=14-x = x+2 \implies 2x = 2 \implies x = 1 elde edilir. Bu noktada y=g(1)=3y = g(1) = 3 olur.
3
Üst sınır doğrusu ile kesişim noktalarını belirleme
h(x)=6  ⟹  x=4h(x) = 6 \implies x = 4 ve g(x)=6  ⟹  x=10g(x) = 6 \implies x = 10
y≤6y \le 6 üst sınırının fonksiyonları kestiği noktalar alan sınırlarını belirler. x≥0x \ge 0 için x+2=6  ⟹  x=4x+2 = 6 \implies x = 4 ve x≥4x \ge 4 için x−4=6  ⟹  x=10x-4 = 6 \implies x = 10 bulunur.
4
Kapalı bölgeyi iki parçaya ayırarak alanı hesaplama
9+18=279 + 18 = 27 birimkare
Bölge x=4x=4 dikey doğrusuyla ikiye bölünür. x=4x=4 doğrusu üzerinde bölgenin yüksekliği 6−g(4)=6−0=66 - g(4) = 6 - 0 = 6 birimdir. Sol taraftaki üçgenin tabanı 66 ve yüksekliği 4−1=34-1=3 birim olup alanı 6×32=9\frac{6 \times 3}{2} = 9 birimkaredir. Sağ taraftaki dik üçgenin tabanı 66 ve yüksekliği 10−4=610-4=6 birim olup alanı 6×62=18\frac{6 \times 6}{2} = 18 birimkaredir. Toplam alan 9+18=279 + 18 = 27 birimkaredir.

Key Concept

Mutlak değer fonksiyonlarının yatay ve dikey ötelenmesiyle oluşan grafiklerin analitik düzlemde alan hesabı
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

More questions from this topic