\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx belirli integralinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

\frac{81}{8}

Doğru olan

\frac{81}{8}

cevabı,

u = x^2 - 1

değişken değiştirmesi yapılıp diferansiyel

x \, dx = \frac{du}{2}

olarak yazıldıktan sonra sınırlar

0

3

olacak şekilde güncellenerek yapılan integral hesabı ile bulunur.

Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^2 - 1

dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

ifadesi elde edilir.

İntegral içerisindeki karmaşık ifadeyi daha basit bir formda entegre edebilmek için içteki fonksiyona yeni bir değişken atanır.

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0

ve üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3

bulunur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak değiştirilmesi gerekir.

Elde edilen yeni integral hesaplanır.

\int_{0}^{3} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{8} (3^4 - 0^4) = \frac{81}{8}

olarak hesaplanır.

İlkel fonksiyon bulunarak güncellenmiş sınırlar yerine yazılır ve belirli integralin değeri bulunur.

Belirli integralde değişken değiştirme uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel çarpanlarının doğru hesaplanması.

Question