Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x \ge … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x \ge 3 \\ 5x - 9, & x < 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3-h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Limitin değeri 10'dur.

Limit ifadesine

f(3)

terimi eklenip çıkarılarak limit ikiye ayrıldığında, ifade

\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{-h}

şekline dönüşür. Bu limitlerin her ikisi de

f'(3)

değerine eşittir ve toplamda

2f'(3)

elde edilir. Fonksiyonun

x = 3

noktasındaki türevi 5 olduğundan, limitin değeri

2 \times 5 = 10

olur.

Fonksiyonun

x = 3

noktasındaki sürekliliğini kontrol edelim.

\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^2 - 3 = 6

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5(3) - 9 = 6

f(3) = 6

olup, limitler ve fonksiyon değeri eşit olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.

Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.

Fonksiyonun

x = 3

noktasındaki sağdan ve soldan türevlerini limit tanımıyla hesaplayalım.

Sağdan türev:

f'_+(3) = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x^2-x) - 6}{x-3} = 5

. Soldan türev:

f'_-(3) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(5x-9) - 6}{x-3} = 5

bulunur. Sağ ve sol türevler eşit olduğundan

f'(3) = 5

olur.

Sağ ve sol türevlerin eşit olması durumunda fonksiyonun o noktada türevi vardır ve bu ortak değere eşittir.

Verilen limit ifadesini türev tanımına benzeterek hesaplayalım.

\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3-h)}{h} = 2f'(3)

olur.

f'(3) = 5

yerine yazıldığında

2 \times 5 = 10

elde edilir.

Limit tanımındaki iki terimi

f(3)

ekleyip çıkararak düzenlediğimizde ifade

f'(3) + f'(3) = 2f'(3)

halini alır.

Türevin limit tanımı ve parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki türevi

Question