Examkin

Question

Difficulty: EasyÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x)+log⁡2(x−2)=3\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. {4}\{4\}Answer
  2. B
    {−2,4}\{-2, 4\}
  3. C
    {5}\{5\}
  4. D
    {−2}\{-2\}
  5. E
    {3}\{3\}

Answer

Denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {4}\{4\} şeklindedir.
Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanıldığında x(x−2)=23=8x(x-2) = 2^3 = 8 eşitliği elde edilir. Buradan x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri 44 ve −2-2 olarak bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği logaritma içi pozitif olmalıdır. x>2x > 2 şartını sağlayan tek kök 44 olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemanı içerir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirleme
x>0x > 0 ve x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma özelliğini uygulayarak denklemi düzenleme
log⁡2(x⋅(x−2))=3\log_2(x \cdot (x-2)) = 3
Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımının logaritmasına eşittir: log⁡b(a)+log⁡b(c)=log⁡b(a⋅c)\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c).
3
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçimde yazma
x(x−2)=23⇒x2−2x=8x(x-2) = 2^3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8
log⁡b(y)=c⇒y=bc\log_b(y) = c \Rightarrow y = b^c özelliğinden yararlanılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözme
x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0⇒x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 4 veya x=−2x = -2
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Kökleri tanım kümesine göre kontrol etme
x=4x = 4 değeri x>2x > 2 şartını sağlar, ancak x=−2x = -2 değeri bu şartı sağlamaz. Bu yüzden çözüm kümesi yalnızca 44 elemanından oluşur.
Başlangıçta belirlenen tanım kümesi şartına uymayan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve bulunan köklerin tanım kümesi şartlarına uygunluğunun denetlenmesi.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic