f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|} + a, … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|} + a, & x < 3 \\ 2x - 5, & x \geq 3 \end{cases}

kuralı ile veriliyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 3$ apsisli noktasında limiti var olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

A
-7
B
-5
7Answer
D
5
E
1

Answer

Fonksiyonun 3 noktasında limitinin bulunması, bu noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olmasına bağlıdır. Sol limit hesaplanırken x değeri 3'ten küçük olduğundan mutlak değer içindeki x - 3 ifadesi önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme sonrası sol limit -6 + a olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan 2x - 5 ifadesinde x yerine 3 yazılarak 1 bulunur. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle a değeri 7 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Fonksiyonun x = 3 noktasındaki sol limitini bulmak için x'in 3'e soldan yaklaştığı durumu inceleyelim.

x < 3 için x - 3 < 0 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Buradan sol limit: lim (x -> 3^-) ( (x^2 - 9) / -(x - 3) + a ) = lim (x -> 3^-) ( -(x + 3) + a ) = -6 + a bulunur.

Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına yaklaşım yönüne göre ifadenin işaretini belirleyip mutlak değer dışına çıkarmamız gerekir.

Fonksiyonun x = 3 noktasındaki sağ limitini bulmak için x'in 3'e sağdan yaklaştığı durumu inceleyelim.

x > 3 için f(x) = 2x - 5 kuralı geçerlidir. Buradan sağ limit: lim (x -> 3^+) (2x - 5) = 2(3) - 5 = 1 bulunur.

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktadaki sağ limiti bulmak için o noktanın sağındaki aralıkta tanımlı olan kural kullanılır.

Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerektiğini kullanalım.

-6 + a = 1 denkleminden a = 7 olarak elde edilir.

Bir noktada limitin varlığı, o noktadaki sağ ve sol limitlerin var ve birbirine eşit olması koşuluna bağlıdır.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic