Bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx belirli integrali veriliyor. B… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $f$ fonksiyonu için

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx

belirli integrali veriliyor. Bu integralde $u = x^2 + 1$ değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Doğrulanan dönüşümde,

u = x^2 + 1

değişken değiştirmesi yapıldığında sınırlar

x = 1

için

u = 2

x = 2

için

u = 5

olur. Ayrıca

x \, dx

ifadesi

\frac{1}{2} \, du

haline gelir. Bu iki durum birleştirildiğinde integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

olarak elde edilir.

Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma

u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

İntegral içindeki

x \, dx

terimini yeni değişken cinsinden yazabilmek için her iki tarafın diferansiyeli hesaplanır.

Belirli integral sınırlarını yeni değişkene göre güncelleme

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2

; üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.

Dönüşümleri integralde yerine yazıp yeni integral ifadesini elde etme

\int_{1}^{2} f(x^2 + 1) \cdot (x \, dx) = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Elde edilen yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yerleştirilerek sadeleştirilir.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel (

du

) katsayısının doğru hesaplanması.

Question