Bir gezegenin çevresinde kararlı dairesel yörüngelerde dolanan m kütleli X uydusu ile 2m k… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir gezegenin çevresinde kararlı dairesel yörüngelerde dolanan $m$ kütleli $X$ uydusu ile $2m$ kütleli $Y$ uydusunun dolanma yarıçapları sırasıyla $r$ ve $2r$ 'dir.

Buna göre,
I. $X$ uydusunun bağlanma enerjisi, $Y$ uydusunun kinetik enerjisine eşittir.
II. $Y$ uydusunun kurtulma enerjisi, $X$ uydusunun kurtulma enerjisine eşittir.
III. Uyduların a��ısal momentum büyüklükleri eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

A
Yalnız I
I ve IIAnswer
C
I ve III
D
II ve III
E
I, II ve III

Answer

I ve II yargıları doğrudur.

Yapılan hesaplamalar sonucunda

X

uydusunun bağlanma enerjisi ile

Y

uydusunun kinetik enerjisinin eşit büyüklükte (

\frac{GMm}{2r}

) olduğu görülür. Aynı zamanda, her iki uydunun çekim alanından kurtulması için gereken minimum kurtulma enerjileri de eşit ve

\frac{GMm}{r}

kadardır. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller doğrudur.

Step-by-Step Solution

Uyduların dolanma hızlarını belirlemek.

Gezegenin kütlesine

M

denilirse, kütle çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşitlenerek çizgisel hız ifadeleri

v_X = \sqrt{\frac{GM}{r}}

v_Y = \sqrt{\frac{GM}{2r}}

olarak bulunur.

Kinetik enerji ve açısal momentum büyüklüklerini hesaplamak için çizgisel dolanma hızlarının bulunması gerekir.

Uyduların kinetik enerjilerini hesaplamak.

E_{k,X} = \frac{1}{2} m v_X^2 = \frac{GMm}{2r}

E_{k,Y} = \frac{1}{2} (2m) v_Y^2 = \frac{1}{2} (2m) \frac{GM}{2r} = \frac{GMm}{2r}

bulunur.

Birinci öncüldeki kinetik enerji eşitliğini doğrulamak amacıyla hesaplanır.

Bağlanma enerjilerini bulmak ve birinci öncülü değerlendirmek.

X

uydusunun bağlanma enerjisi, uydunun toplam enerjisinin mutlak değerine eşittir:

E_{bag,X} = -E_{top,X} = E_{k,X} = \frac{GMm}{2r}

olur. Bu değer,

Y

uydusunun kinetik enerjisi olan

E_{k,Y} = \frac{GMm}{2r}

değerine eşittir. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Bağlanma enerjisinin mekanik enerjiyle olan ilişkisini kurarak birinci öncülü test etmek.

Uyduların kurtulma enerjilerini hesaplamak ve ikinci öncülü değerlendirmek.

Uyduların bulundukları konumlardaki kurtulma enerjileri potansiyel enerjilerinin ters işaretlisine eşittir:

E_{kurt,X} = -E_{p,X} = \frac{GMm}{r}

E_{kurt,Y} = -E_{p,Y} = \frac{GM(2m)}{2r} = \frac{GMm}{r}

olur. Değerler birbirine eşittir. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Kurtulma enerjisinin potansiyel enerjiyle olan ilişkisini kullanarak ikinci öncülü test etmek.

Açısal momentum büyüklüklerini hesaplamak ve üçüncü öncülü değerlendirmek.

L_X = m v_X r = m \sqrt{\frac{GM}{r}} r = m \sqrt{GMr}

L_Y = 2m v_Y (2r) = 4m \sqrt{\frac{GM}{2r}} r = 2\sqrt{2} m \sqrt{GMr}

bulunur. Açısal momentum büyüklükleri eşit değildir (

L_Y = 2\sqrt{2} L_X

). Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Açısal momentumun kütle, hız ve yarıçap bağlılığını inceleyerek üçüncü öncülü test etmek.

Key Concept

Kararlı dairesel yörüngelerde dolanan uyduların kinetik, potansiyel, toplam mekanik, bağlanma ve kurtulma enerjilerinin kütle ve yörünge yarıçapına bağlılığı.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic