Examkin

Question

Difficulty: EasyÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x+2)+log⁡2(x−4)=4\log_2(x+2) + \log_2(x-4) = 4 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
  1. A
    -24
  2. B
    3
  3. C
    2
  4. 6Answer
  5. E
    9

Answer

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 6'dır.
Logaritmanın tanım kümesi gereği x>4x > 4 olmalıdır. Denklemin çözümünden elde edilen x=6x = 6 ve x=−4x = -4 köklerinden yalnızca 66 bu koşulu sağlar. Bu nedenle denklemi sağlayan xx değerlerinin çarpımı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>4x > 4 olmalıdır.
Logaritmanın tanımı gereği argümanlar pozitif olmalıdır. Buradan x+2>0  ⟹  x>−2x+2 > 0 \implies x > -2 ve x−4>0  ⟹  x>4x-4 > 0 \implies x > 4 elde edilir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü x>4x > 4 aralığıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirmek.
log⁡2((x+2)(x−4))=4\log_2((x+2)(x-4)) = 4
Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir: log⁡a(u)+log⁡a(v)=log⁡a(u⋅v)\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v).
3
Logaritma tanımını uygulayarak logaritmalı ifadeyi üstel ifadeye dönüştürmek ve ikinci dereceden denklemi elde etmek.
x2−2x−24=0x^2 - 2x - 24 = 0
log⁡2(A)=4  ⟹  A=24=16\log_2(A) = 4 \implies A = 2^4 = 16 olur. Buradan (x+2)(x−4)=16  ⟹  x2−2x−8=16  ⟹  x2−2x−24=0(x+2)(x-4) = 16 \implies x^2 - 2x - 8 = 16 \implies x^2 - 2x - 24 = 0 denklemi bulunur.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası kökleri bulmak.
x=6x = 6 veya x=−4x = -4.
x2−2x−24=0  ⟹  (x−6)(x+4)=0x^2 - 2x - 24 = 0 \implies (x-6)(x+4) = 0 olur. Buradan denklemin kökleri x=6x = 6 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
5
Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.
x=6x = 6 (tek geçerli kök).
x>4x > 4 koşulunu yalnızca x=6x = 6 değeri sağlar. x=−4x = -4 değeri logaritmanın içini negatif yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek değer 66'dır ve bu değerlerin çarpımı da 66 olur.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Denklemler ile Logaritmanın Tanım Kümesi
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic