\int_{1}^{2} 4(x-1)^3 \, dx belirli integralinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{1}^{2} 4(x-1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında

u = x-1

dönüşümüyle sınırlar

0

1

olarak güncellenir. İntegral

\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = [u^4]_0^1 = 1

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru cevap 1 değeridir.

Değişken değiştirme tanımlaması yapılır.

u = x-1

dönüşümü seçilir. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = dx

elde edilir.

İntegrali daha kolay çözülebilir bir biçime getirmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

Belirli integralin sınırları u değişkenine göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 1 \implies u = 1 - 1 = 0

Üst sınır için:

x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1

olur.

Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Dönüşümler integralde yerine yazılarak yeni integral hesaplanır.

\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1

elde edilir.

Elde edilen u cinsinden kolay integralin değeri hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Question