Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫0π4tan⁡(x)⋅sec⁡2(x)⋅f′(tan⁡2(x)) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \cdot \sec^2(x) \cdot f'(\tan^2(x)) \, dx
integrali veriliyor. Bu integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
  1. 12∫01f′(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, duAnswer
  2. B
    12∫0π4f′(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du
  3. C
    ∫01f′(u) du\int_{0}^{1} f'(u) \, du
  4. D
    ∫0π4f′(u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du
  5. E
    \int_{0}^{1} u \cdot f'(u) \, du

Answer

Önünde bir bölü iki katsayısı bulunan, sıfırdan bire f türev u du integralidir.
Verilen integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) dönüşümü uygulandığında, diferansiyel du=2tan⁡(x)sec⁡2(x) dxdu = 2\tan(x)\sec^2(x)\,dx olur ve buradan tan⁡(x)sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x)\sec^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\,du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x=0 için u=0u=0 ve x=π4x=\frac{\pi}{4} için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu değerler yerlerine yazıldığında integralin eş değeri önünde bir bölü iki katsayısı bulunan sıfırdan bire f türev u du şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) olarak seçildiğinde diferansiyel alınırsa du=2tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dxdu = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx elde edilir. Buradan tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içindeki ifadenin uu cinsinden yazılabilmesi için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=tan⁡2(0)=0u = \tan^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π4x = \frac{\pi}{4} iken u=tan⁡2(π4)=12=1u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazma
∫0π4f′(tan⁡2(x))⋅(tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx)=∫01f′(u)⋅(12 du)=12∫01f′(u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(\tan^2(x)) \cdot \left(\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx\right) = \int_{0}^{1} f'(u) \cdot \left(\frac{1}{2} \, du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du elde edilir.
Bulunan diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak uu cinsinden eş değer integral elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic