Examkin

Question

Difficulty: MediumÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−4x+3)⋅(2−x)x2−5x−6≥0 \frac{(x^2 - 4x + 3) \cdot (2 - x)}{x^2 - 5x - 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı -1'dir.
Eşitsizlik tablosu incelendiğinde eşitsizliği sağlayan çözüm kümesinin (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6) olduğu görülür. Bu kümedeki en büyük negatif tam sayı −2-2 (−1-1 tanımsızlık nedeniyle hariç tutulmuştur) ve en küçük pozitif tam sayı 11'dir. İkisinin toplamı −2+1=−1-2 + 1 = -1 olur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Payın çarpanları:
x2−4x+3=(x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 ve x=3x = 3
2−x=0  ⟹  x=22 - x = 0 \implies x = 2
Payın kökleri: 1, 2 ve 3'tür.

Paydanın çarpanları:
x2−5x−6=(x−6)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=6x = 6
Paydanın kökleri: -1 ve 6'dır.
İşaret tablosu oluşturmak amacıyla tüm sınır değerleri (kökleri) tespit etmek için bu adım uygulanır.
2
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve aralıkların işaretlerini belirleyin.
Köklerin sıralaması: −1<1<2<3<6-1 < 1 < 2 < 3 < 6
Baş katsayıların işareti:
- x2−4x+3x^2 - 4x + 3 için ++
- 2−x2 - x için −-
- x2−5x−6x^2 - 5x - 6 için ++
Toplam işaret: (+)⋅(−)+=−\frac{(+) \cdot (-)}{+} = -

Bu nedenle tablonun en sağından (6'nın sağından) eksi (−-) işareti ile başlanır ve her kökten geçildiğinde işaret değiştirilir:
- x>6x > 6 için −-
- 3<x<63 < x < 6 için ++
- 2<x<32 < x < 3 için −-
- 1<x<21 < x < 2 için ++
- −1<x<1-1 < x < 1 için −-
- x<−1x < -1 için ++

Paydanın kökleri olan −1-1 ve 66 ifadeyi tanımsız yaptığından çözüm kümesine dahil edilmez. Eşitsizlik ≥0\ge 0 şeklinde olduğundan payın kökleri (1,2,31, 2, 3) dahil edilir. Çözüm kümesi: (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6)
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu bölgeleri (pozitif bölgeleri) tespit etmek için.
3
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayıyı belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki negatif sayılar (−∞,−1)(-\infty, -1) aralığındadır. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −2-2'dir (−1-1 paydayı sıfır yaptığı için dahil edilemez).

Çözüm kümesindeki pozitif sayılar [1,2]∪[3,6)[1, 2] \cup [3, 6) aralıklarındadır. Bu aralıklardaki en küçük pozitif tam sayı 11'dir.

İki değerin toplamı: (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydadaki ifadelerin tüm kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur. Paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilmez.
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic