Examkin

Question

Difficulty: MediumÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x2−x−6)⋅(x−1)2x2−4≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 1)^2}{x^2 - 4} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Answer
  4. D
    5
  5. E
    6

Answer

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı 4'tür.
Çözüm kümesi {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] olarak bulunur. Bu kümedeki tam sayılar 11 ve 33 olup, toplamları 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırın.
Pay kısmındaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesi (x−3)(x+2)(x - 3)(x + 2) olarak, paydadaki x2−4x^2 - 4 ifadesi ise (x−2)(x+2)(x - 2)(x + 2) olarak yazılır. Eşitsizlik (x−3)(x+2)⋅(x−1)2(x−2)(x+2)≤0 \frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 1)^2}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 haline gelir.
Çarpanlara ayırma yöntemi, eşitsizliğin köklerini belirlemeyi ve sadeleştirmeleri yapmayı sağlar.
2
Tanımsızlık koşullarını belirleyerek sadeleştirme yapın.
Paydanın sıfır olmaması gerektiğinden x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 olmalıdır. Bu koşul altında pay ve paydadaki (x+2)(x + 2) çarpanları sadeleştirilir. Eşitsizlik (x−3)(x−1)2x−2≤0(x≠−2) \frac{(x - 3)(x - 1)^2}{x - 2} \leq 0 \quad (x \neq -2) haline gelir.
Paydanın kökleri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Sadeleşmiş eşitsizliğin köklerini bularak işaret tablosunu hazırlayın.
Payın kökleri x=3x = 3 (tek katlı kök) ve x=1x = 1 (çift katlı kök) olarak bulunur. Paydanın kökü ise x=2x = 2 (tek katlı kök) olarak elde edilir. İşaret tablosunda kökler −2,1,2,3-2, 1, 2, 3 sırasıyla dizilir. En sağ aralıkta (x>3x > 3 için) ifadenin işareti (+) ile başlar.
Eşitsizlik sisteminin çözüm aralıklarını belirlemek için her kökün katı ve ifadenin baş katsayı işareti kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.
4
İ��aret tablosuna göre çözüm kümesini belirleyin.
İşaretler sağdan sola sırasıyla: x>3x > 3 için (+), 2<x<32 < x < 3 için (-), 1<x<21 < x < 2 için (+), −2<x<1-2 < x < 1 için (+), x<−2x < -2 için (+) olur. Eşitsizlik ≤0\leq 0 durumunu aradığı için çözüm kümesi {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] olarak belirlenir. Tanımsızlık noktası olan x=−2x = -2 bu aralıkların dışındadır.
Eşitsizliğin negatif veya sıfır olduğu bölgeler ile payın sıfır olduğu noktalar çözüm kümesini oluşturur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayın.
Belirlenen {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] kümesindeki tam sayılar sadece 11 ve 33'tür (22 değeri payda kökü olduğundan açık aralıktadır ve dahil edilmez). Bu tam sayıların toplamı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için çözüm kümesindeki tüm tam sayılar tespit edilir ve toplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Noktalarının İncelenmesi

Alternative Method

İşaret tablosu oluşturmak yerine, kritik noktaların belirlediği aralıklardan temsilci tam sayı değerleri seçilerek (örneğin x = 0, x = 1.5, x = 2.5 vb.) eşitsizlikte yerine yazılır ve hangi aralıkların eşitsizliği sağladığı doğrudan kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic