\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İntegralin doğru değeri 81/8'dir.

u = x^2 - 1

dönüşümü yapıldığında

du = 2x \, dx

olur ve buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir. Sınırlar

x = 1

için

u = 0

x = 2

için

u = 3

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 \, du

haline gelir ve hesaplandığında

\frac{81}{8}

sonucu bulunur.

Değişken değiştirme için dönüşüm tanımlanır ve diferansiyel hesabı yapılır.

u = x^2 - 1

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

İntegral içindeki

x(x^2 - 1)^3 \, dx

ifadesini

u

cinsinden yazabilmek için.

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0

, üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3

İntegral değişkeni

x

'ten

u

'ya geçtiği için sınırların da

u

değişkeninin aldığı değerlerle değiştirilmesi gerekir.

Elde edilen yeni integral hesaplanır.

\int_{0}^{3} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{81}{4} - 0 \right) = \frac{81}{8}

Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integralin içi hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.

Question