Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡3(x2−8x+16)−log⁡x−4(1729)=8\log_3(x^2 - 8x + 16) - \log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = 8 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 38

Answer

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı 38'dir.
Verilen denklemde öncelikle logaritmaların tanımlı olma şartları incelenir. İkinci terimin tabanı olan x−4x-4 ifadesi pozitif ve 11 den farklı olmalıdır. Buradan x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Bu aralıkta x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ilk terim 2log⁡3(x−4)2\log_3(x-4) şeklinde yazılabilir. İkinci terim ise taban değiştirme kuralı kullanılarak 6log⁡3(x−4)\frac{6}{\log_3(x-4)} haline getirilir. Denklemde u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 olur ve kökleri u=1u=1 ile u=3u=3 olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında log⁡3(x−4)=1  ⟹  x=7\log_3(x-4)=1 \implies x=7 ve log⁡3(x−4)=3  ⟹  x=31\log_3(x-4)=3 \implies x=31 elde edilir. Her iki değer de tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin kökleridir ve bu köklerin toplamı 3838 dir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirleme
x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5
Logaritmanın tanımı gereği, taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, argüman ise pozitif olmalıdır. x−4>0x-4 > 0, x−4≠1x-4 \neq 1 ve x2−8x+16>0x^2-8x+16 > 0 koşullarından bu aralık elde edilir.
2
Logaritma ifadelerini sadeleştirme
log⁡3(x2−8x+16)=2log⁡3(x−4)\log_3(x^2 - 8x + 16) = 2\log_3(x-4) ve −log⁡x−4(1729)=6log⁡3(x−4)-\log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = \frac{6}{\log_3(x-4)}
x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ve x−4>0x-4>0 aralığında çalıştığımızdan kuvvet başa çarpım olarak alınabilir. Taban değiştirme kuralı yardımıyla ikinci logaritma 3 tabanına çevrilir.
3
Değişken değiştirme ve denklem çözümü
u=1u = 1 ve u=3u = 3
u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında elde edilen 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi düzenlenerek u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 ikinci dereceden denklemine dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
xx değerlerini bulma ve tanım kümesi kontrolü
x1=7x_1 = 7 ve x2=31x_2 = 31
u=1  ⟹  log⁡3(x−4)=1  ⟹  x−4=3  ⟹  x=7u = 1 \implies \log_3(x-4) = 1 \implies x-4 = 3 \implies x = 7 olur. u=3  ⟹  log⁡3(x−4)=3  ⟹  x−4=27  ⟹  x=31u = 3 \implies \log_3(x-4) = 3 \implies x-4 = 27 \implies x = 31 olur. Her iki değer de x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 şartını sa��ladığından denklemin kökleridir.
5
Kökler toplamını hesaplama
7+31=387 + 31 = 38
Bulunan geçerli köklerin toplamı alınarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemlerinin tanım kümesi sınırları göz önünde bulundurularak uygulanması.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic