Examkin

Question

Difficulty: HardParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, tepe noktası TT olan y=−x2+4xy = -x^2 + 4x parabolü ile y=x+cy = x + c doğrusu iki farklı AA ve BB noktasında kesişmektedir.

TABTAB üçgeninin alanı 1515 birimkare olduğuna göre, cc gerçek sayısı kaçtır?

Answer: -4

Answer

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Parabolün tepe noktası T(2,4)T(2, 4) olarak belirlenir. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları A(x1,x1+c)A(x_1, x_1+c) ve B(x2,x2+c)B(x_2, x_2+c) dir. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı 12∣2−c∣9−4c\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} formülüyle elde edilir. Alan 1515 birimkareye eşitlendiğinde ve Δ>0\Delta > 0 şartı gözetildiğinde tek reel çözüm c=−4c = -4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T(2,4)T(2, 4)
y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)r = -b/(2a) ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülü ile hesaplanır.
2
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini veren ortak denklemi oluşturmak.
x2−3x+c=0x^2 - 3x + c = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olur.
Kesişim noktalar��nı bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.
3
TABTAB üçgeninin alan formülünü cc parametresi cinsinden ifade etmek.
Alan(TAB)=12∣2−c∣9−4c\text{Alan}(TAB) = \frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c}
[AB][AB] taban uzunluğu ∣x2−x1∣2=2(9−4c)|x_2 - x_1|\sqrt{2} = \sqrt{2(9-4c)} ile T(2,4)T(2,4) noktasının x−y+c=0x-y+c=0 doğrusuna olan dik uzaklığı (yükseklik h=∣c−2∣/2h = |c-2|/\sqrt{2}) çarpılıp ikiye bölündüğünde bu alan ifadesine ulaşılır.
4
Alan ifadesini 1515 değerine eşitleyerek cc parametresini çözmek.
c=−4c = -4
12∣2−c∣9−4c=15⇒(2−c)2(9−4c)=900\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} = 15 \Rightarrow (2-c)^2(9-4c) = 900 denklemini sağlayan ve parabol ile do��runun iki farklı noktada kesişmesi için gerekli olan Δ=9−4c>0\Delta = 9-4c > 0 (c<2.25c < 2.25) şartına uyan tek reel sayı c=−4c = -4 değeridir.

Key Concept

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternative Method

Kesişim noktaları AA ve BB arasındaki uzaklık [AB][AB] taban uzunluğu olarak alınabilir. T(2,4)T(2,4) noktasının x−y+c=0x-y+c=0 doğrusuna olan dik uzaklığı ise yükseklik (hh) olarak hesaplanır. Taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı 1515 birimkareye eşitlenerek cc değeri bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic