Türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(1) = 3 f(2) = 5 f(4) = 11 f(9) = 7\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(1) = 3 f(2) = 5 f(4) = 11 f(9) = 7\neşitlikleri ver… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 3

f(2) = 5

f(4) = 11

f(9) = 7

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin doğru değeri 4'tür.

Doğru seçenekte,

u = x^2

dönüşümü kurallara uygun olarak yapılmış, sınırlar sırasıyla

1

4

olarak güncellenmiş, diferansiyel katsayısı

\frac{1}{2}

olarak integralin önüne getirilmiş ve verilen değerler kullanılarak integralin değeri

4

olarak doğru bulunmuştur.

Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.

u = x^2

dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \cdot f'(x^2) \, dx

ifadesini

u

cinsinden yazmak için.

Belirli integralin sınırlarını güncelleyelim.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 = 1

olur. Üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 = 4

olur.

Değişken değiştirildikten sonra sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Elde edilen yeni integrali kurup hesaplayalım.

\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f'(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f'(u) \, du

elde edilir. Bu integralin sonucu ise

\frac{1}{2} [f(u)]_{1}^{4} = \frac{1}{2} [f(4) - f(1)]

olur.

f'(u)

fonksiyonunun integrali

f(u)

fonksiyonudur.

Verilen fonksiyon değerlerini yerine yazalım.

f(4) = 11

f(1) = 3

değerleri yerine yazıldığında,

\frac{1}{2} [11 - 3] = \frac{8}{2} = 4

bulunur.

İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.