Examkin

Question

Difficulty: MediumPermütasyon

Bir aktar, bitki çayları için hazırladığı birbirinden farklı 33 nane kavanozu ve birbirinden farklı 44 kekik kavanozunu tek bir sıra hâlinde yan yana dizecektir.

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla bu kavanozlar kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. A
    144144
  2. B
    240240
  3. C
    720720
  4. 14401440Answer
  5. E
    43204320

Answer

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla toplam dizilim sayısı 14401440 olarak bulunur.
Kekik kavanozlarının yan yana dizilimi 4!=244! = 24 farklı şekilde yapılır. Yan yana gelmeme kuralı nedeniyle nane kavanozları, kekik kavanozlarının oluşturduğu 55 boşluktan (başta, aralarda ve sonda) seçilen 33 boşluğa yerleştirilir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 yolla yapılır. Nane kavanozları farklı olduğundan kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanırlar. Çarpım kuralına göre toplam dizilim sayısı 24×10×6=144024 \times 10 \times 6 = 1440 olur.

Step-by-Step Solution

1
Öncelikle 44 farklı kekik kavanozunun kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Kekik kavanozlarının yerleri nane kavanozları için ayırıcı bölgeler oluşturacaktır.
2
Kekik kavanozlarının oluşturduğu boşluklardan nane kavanozları için uygun yerleri seçeriz.
Kekik kavanozlarının arasında ve uçlarında toplam 55 boşluk bulunur. Bu 55 boşluktan 33 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir.
Nane kavanozlarının yan yana gelmemesi için her bir boşluğa en fazla bir nane kavanozu yerleştirilmelidir.
3
Seçilen boşluklara nane kavanozlarının yerleştirilme ve kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.
33 farklı nane kavanozu seçilen yerlere 3!=63! = 6 farklı şekilde dizilir.
Nane kavanozları birbirinden farklı olduğu için kendi aralarındaki sıralamaları da hesaba katılır.
4
Tüm durumların çarpımı ile toplam dizilim sayısını buluruz.
24×10×6=144024 \times 10 \times 6 = 1440 bulunur.
Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bu bağımsız adımların sonuçları çarpılır.

Key Concept

Permütasyon ve koşullu sıralama

Alternative Method

Kekik kavanozları yerleştirildikten sonra (4!4!), ilk nane kavanozu için 55 boşluktan biri, ikincisi için kalan 44 boşluktan biri, üçüncüsü için ise kalan 33 boşluktan biri seçilebilir. Bu da doğrudan 4!×5×4×3=24×60=14404! \times 5 \times 4 \times 3 = 24 \times 60 = 1440 sonucunu verir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Permütasyon

More questions from this topic