Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x(2)−log⁡2(x)=32\log_x(2) - \log_2(x) = \frac{3}{2} denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü denklem log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yapılarak çözüldüğünde elde edilen kökler x=2x = \sqrt{2} ve x=1/4x = 1/4'tür. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi kurallarına uymaktadır ve çarpımları 24\frac{\sqrt{2}}{4} değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gerekli taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereğince taban pozitif ve 11'den farklı olmalıdır, ayrıca log⁡2(x)\log_2(x) ifadesindeki argüman olan xx de pozitif olmalıdır.
2
log⁡x(2)\log_x(2) ifadesini taban değiştirme kuralı kullanarak log⁡2(x)\log_2(x) türünden yazma ve değişken değiştirme uygulama.
log⁡x(2)=1log⁡2(x)\log_x(2) = \frac{1}{\log_2(x)} özelliğinden denklem 1log⁡2(x)−log⁡2(x)=32\frac{1}{\log_2(x)} - \log_2(x) = \frac{3}{2} olur. log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümüyle denklemi 1t−t=32\frac{1}{t} - t = \frac{3}{2} biçimine getirebiliriz.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem olarak ifade etme ve çözme.
Paydaları eşitleyip düzenleyince 2t2+3t−2=02t^2 + 3t - 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (2t−1)(t+2)=0(2t - 1)(t + 2) = 0 olup kökleri t1=12t_1 = \frac{1}{2} ve t2=−2t_2 = -2 bulunur.
Rasyonel denklemi standart ikinci derece denklem formuna dönüştürüp kökleri bulmak.
4
Bulunan tt değerlerini kullanarak orijinal xx değişkeninin değerlerini elde etme ve tanım kümesine uygunluğunu denetleme.
t=12  ⟹  log⁡2(x)=12  ⟹  x1=21/2=2t = \frac{1}{2} \implies \log_2(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = 2^{1/2} = \sqrt{2} ve t=−2  ⟹  log⁡2(x)=−2  ⟹  x2=2−2=14t = -2 \implies \log_2(x) = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} elde edilir. Her iki değer de x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 şartını sağladığı için geçerli köklerdir.
Tanım kümesi dışındaki yabancı kökleri elemek ve gerçek çözüm kümesini oluşturmak.
5
Bulunan köklerin çarpımını hesaplama.
x1⋅x2=2⋅14=24x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} bulunur.
Soruda doğruluğu sorgulanan kökler çarpımı ifadesini kontrol etmek.

Key Concept

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme kuralı yardımıyla değişken değiştirme yöntemi uygulamak ve elde edilen köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu denetlemek.

Alternative Method

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanarak log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yerine ln⁡(x)\ln(x) cinsinden yazım da yapılabilir, ancak bu işlem adımlarını uzatacaktır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic