Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
12x=π12x = \pi

olmak üzere,

sin⁡(17x)+cos⁡(5x)cos⁡(x)−sin⁡(x)−tan⁡(8x)⋅cos⁡(7x)cot⁡(2x)⋅cos⁡(5x)\frac{\sin(17x) + \cos(5x)}{\cos(x) - \sin(x)} - \frac{\tan(8x) \cdot \cos(7x)}{\cot(2x) \cdot \cos(5x)}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2
  2. B
    1
  3. C
    0
  4. D
    -1
  5. -2Answer

Answer

-2
İfadedeki açılar 12x=π12x = \pi eşitliği kullanılarak π2\frac{\pi}{2}, π\pi ve 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazılır. sin⁡(17x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin(17x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(5x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos(5x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olarak indirgendiğinde birinci kesrin değeri −1-1 olur. Benzer şekilde, tan⁡(8x)=tan⁡(π2+2x)=−cot⁡(2x)\tan(8x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\cot(2x) ve cos⁡(7x)=cos⁡(π−5x)=−cos⁡(5x)\cos(7x) = \cos(\pi - 5x) = -\cos(5x) olarak indirgendiğinde ikinci kesrin değeri 11 olur. Bu değerler yerine yazıldığında −1−1=−2-1 - 1 = -2 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen 12x=π12x = \pi eşitliğini kullanarak π2\frac{\pi}{2}, π\pi ve 3π2\frac{3\pi}{2} açılarına karşılık gelen xx değerlerini belirleriz.
6x=π26x = \frac{\pi}{2}, 12x=π12x = \pi ve 18x=3π218x = \frac{3\pi}{2} elde edilir.
Trigonometrik ifadelerdeki açıları indirgeme formüllerine uygun biçimde yazabilmek için bu referans açıları kullanılmalıdır.
2
Birinci kesrin payındaki sin⁡(17x)\sin(17x) ve cos⁡(5x)\cos(5x) ifadelerini indirgeme formülleriyle sadeleştiririz.
sin⁡(17x)=sin⁡(18x−x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin(17x) = \sin(18x - x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(5x)=cos⁡(6x−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos(5x) = \cos(6x - x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) bulunur.
Açıları xx cinsinden ifade ederek sadeleştirme yapabilmek için bölgelerine göre işaret belirleme ve isim değiştirme kuralları uygulanır.
3
İkinci kesrin payındaki tan⁡(8x)\tan(8x) ve cos⁡(7x)\cos(7x) ifadelerini indirgeme formülleriyle sadeleştiririz.
tan⁡(8x)=tan⁡(6x+2x)=tan⁡(π2+2x)=−cot⁡(2x)\tan(8x) = \tan(6x + 2x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\cot(2x) ve cos⁡(7x)=cos⁡(12x−5x)=cos⁡(π−5x)=−cos⁡(5x)\cos(7x) = \cos(12x - 5x) = \cos(\pi - 5x) = -\cos(5x) bulunur.
İkinci kesri sadeleştirmek için açıları uygun bölgelere indirgemek gerekir.
4
Elde edilen indirgenmiş ifadeleri orijinal denklemde yerine yazarak sonucu hesaplarız.
Birinci kesir −cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=−1\frac{-\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} = -1 ve ikinci kesir (−cot⁡(2x))⋅(−cos⁡(5x))cot⁡(2x)⋅cos⁡(5x)=1\frac{(-\cot(2x)) \cdot (-\cos(5x))}{\cot(2x) \cdot \cos(5x)} = 1 olur. İfadenin tamamı ise −1−1=−2-1 - 1 = -2 olarak bulunur.
Tüm sadeleştirmeleri birleştirip nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik oranların referans açılarına göre indirgenirken isim ve işaret değiştirme kuralları.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic