Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik değerlerini en kü��ükten en büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1y=sin⁡(−41π4)y = \sin\left(-\frac{41\pi}{4}\right)
  2. 2z=tan⁡(23π6)z = \tan\left(\frac{23\pi}{6}\right)
  3. 3x=cos⁡(31π3)x = \cos\left(\frac{31\pi}{3}\right)
  4. 4w=cot⁡(−17π3)w = \cot\left(-\frac{17\pi}{3}\right)

Answer

Trigonometrik değerlerin doğru sıralaması en küçükten en büyüğe y<z<x<wy < z < x < w şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup değerleri hesaplandığında y=−22≈−0.707y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707, z=−33≈−0.577z = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577, x=0.5x = 0.5 ve w=33≈0.577w = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 değerleri elde edilir. Negatif sayıların kendi arasındaki sıralamasından y<zy < z, pozitif sayıların kendi arasındaki sıralamasından ise x<wx < w elde edilir. Bu durumları birleştiren sıralama doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x=cos⁡(31π3)x = \cos\left(\frac{31\pi}{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
31π3\frac{31\pi}{3} açısının esas ölçüsü, 3131'in 66'ya (paydanın iki katına) bölümünden kalan 11 olduğundan π3\frac{\pi}{3} radyandır. Dolayısıyla x=cos⁡(π3)=12=0.5x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} = 0.5 olur.
Açının 2π2\pi'den büyük olan kısmı elenerek esas ölçüsü bulunur.
2
y=sin⁡(−41π4)y = \sin\left(-\frac{41\pi}{4}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−41π4=−10π−π4-\frac{41\pi}{4} = -10\pi - \frac{\pi}{4} olup esas ölçü için üzerine 12π12\pi eklendiğinde 7π4\frac{7\pi}{4} elde edilir. Dördüncü bölgedeki bu açının sinüsü y=sin⁡(7π4)=−sin⁡(π4)=−22≈−0.707y = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 olur.
Negatif açılarda esas ölçü bulunup dördüncü bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olarak belirlenir.
3
z=tan⁡(23π6)z = \tan\left(\frac{23\pi}{6}\right) ifadesinin değerini bulmak.
23π6=4π−π6\frac{23\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6} olup esas ölçüsü 11π6\frac{11\pi}{6} radyandır. Dördüncü bölgedeki bu açının tanjantı z=tan⁡(11π6)=−tan⁡(π6)=−33≈−0.577z = \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 olur.
Dördüncü bölgedeki tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
4
w=cot⁡(−17π3)w = \cot\left(-\frac{17\pi}{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−17π3=−6π+π3-\frac{17\pi}{3} = -6\pi + \frac{\pi}{3} olup esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyandır. Birinci bölgedeki bu açının kotanjantı w=cot⁡(π3)=33≈0.577w = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 olur.
Esas ölçü ekleme yoluyla bulunmuş olup birinci bölgedeki kotanjant değeri pozitiftir.
5
Hesaplanan değerleri sayı doğrusunda karşılaştırmak.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan daha küçük olduğundan −22<−33-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{3} yani y<zy < z olur. Pozitif sayılarda ise 12<33\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3} yani x<wx < w olur. Tüm değerler birleştirildiğinde y<z<x<wy < z < x < w sıralaması elde edilir.
Elde edilen rasyonel ve köklü sayıların yaklaşık değerleri karşılaştırılarak doğru sıralama yapılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenerek değer sıralaması yapılması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic