Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x2−x)−2log⁡x2−x2=1\log_2(x^2 - x) - 2\log_{x^2 - x} 2 = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların çarpımı 2'dir.
Verilen denklemde log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapılarak elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri t=2t = 2 ve t=−1t = -1 bulunur. Buradan türetilen x2−x=4x^2 - x = 4 ve x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} denklemlerinin tüm köklerinin logaritma tanım kümesini sağladığı görülür. Bu iki denklemin köklerinin çarpımları sırasıyla −4-4 ve −12-\frac{1}{2} olup, tüm köklerin çarpımı 22 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesi koşullarının belirlenmesi
x2−x>0x^2 - x > 0 ve x2−x≠1x^2 - x \neq 1
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın ise pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Değişken değiştirme uygulanması
t−2t=1t - \frac{2}{t} = 1
log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme özelliği gereği log⁡x2−x2=1t\log_{x^2 - x} 2 = \frac{1}{t} olur.
3
t değişkenine bağlı denklemin çözülmesi
t1=2t_1 = 2 veya t2=−1t_2 = -1
t2−t−2=0  ⟹  (t−2)(t+1)=0t^2 - t - 2 = 0 \implies (t - 2)(t + 1) = 0 denkleminden kökler elde edilir.
4
x değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemlerin oluşturulması
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 ve 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0
log⁡2(x2−x)=2  ⟹  x2−x=4\log_2(x^2 - x) = 2 \implies x^2 - x = 4 ve log⁡2(x2−x)=−1  ⟹  x2−x=12\log_2(x^2 - x) = -1 \implies x^2 - x = \frac{1}{2} eşitlikleri düzenlenir.
5
Köklerin varlığı, tanımlılık kontrolü ve kökler çarpımının bulunması
Köklerin çarpımı 2'dir.
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=17>0\Delta = 17 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=4x^2 - x = 4 olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x1⋅x2=−4x_1 \cdot x_2 = -4'tür. 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=12>0\Delta = 12 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x3⋅x4=−12x_3 \cdot x_4 = -\frac{1}{2}'dir. Tüm köklerin çarpımı (−4)⋅(−12)=2(-4) \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 bulunur.

Key Concept

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme özelliği, değişken değiştirme yöntemi ve köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic