Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=1\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 1
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Answer: 3

Answer

Verilen denklemin bu aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklem sadeleştirildiğinde cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} haline gelir. Bu denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümleri 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi değerleridir. Dolayısıyla kök sayısı 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin her iki tarafını 2'ye bölün.
32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x)=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}
Sol taraftaki ifadeyi kosinüs fark formülüne dönüştürmek amacıyla uygun katsayıları elde etmek.
2
sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} değerlerini yerlerine yazarak kosin��s fark formülünü uygulayın.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)+sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x−π3)=12\cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) özdeşliğinden faydalanarak ifadeyi tek bir fonksiyona indirgemek.
3
cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} denkleminin genel çözümlerini yazın.
2x−π3=π3+2kπ  ⟹  2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi
veya
2x−π3=−π3+2kπ  ⟹  2x=2kπ  ⟹  x=kπ2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi
(burada k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin çözüm kümesinin periyodik yapısını uygulamak.
4
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığına uyan kökleri seçin.
x=π3+kπx = \frac{\pi}{3} + k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=π3k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}.
x=kπx = k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=0k = 0 \implies x = 0 ve k=1  ⟹  x=πk = 1 \implies x = \pi.
Sadece belirtilen kapalı aralığa düşen gerçel sayı çözümlerini filtrelemek.
5
Elde edilen farklı köklerin sayısını belirleyin.
Kökler: 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi olmak üzere toplam 3 tanedir.
Aralıktaki tüm farklı çözümlerin sayısını netleştirmek.

Key Concept

Lineer trigonometrik denklemlerin yardımcı açılar yardımıyla tek bir fonksiyona dönüştürülerek çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic