Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)−5sin⁡(x)−3=0\cos(2x) - 5\sin(x) - 3 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
  1. A
    π\pi
  2. B
    2π2\pi
  3. C
    5π2\frac{5\pi}{2}
  4. 3π3\piAnswer
  5. E
    3π2\frac{3\pi}{2}

Answer

3π3\pi (Kökler toplamı 3π3\pi radyandır)
Denklemde yarım açı formülü uygulanıp düzenleme yapıldığında 2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 denklemine ulaşıl��r. Bu denklem çarpanlarına (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=0(2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 şeklinde ayrılır. Sinüs fonksiyonunun değer kümesi [−1,1][-1, 1] olduğundan, sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 eşitliğini sağlayan bir gerçel sayı yoktur. Buradan sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 elde edilir. Bu eşitliği [0,2π][0, 2\pi] aralığında sağlayan açılar 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6} radyan olup, bu değerlerin toplamı 3π3\pi radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklemdeki tüm trigonometrik ifadeler aynı türden yazılır.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) dönüşümü yapılarak denklem 1−2sin⁡2(x)−5sin⁡(x)−3=01 - 2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 3 = 0 hâline getirilir.
Denklemi çözebilmek için tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılır.
2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=0  ⟹  (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 \implies (2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek olası sin⁡(x)\sin(x) değerleri belirlenir ve fonksiyonun değer kümesi sınırlarına göre kontrol edilir.
sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 için reel kök yoktur (−1≤sin⁡(x)≤1-1 \leq \sin(x) \leq 1 olduğundan). sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denkleminin ise gerçel kökleri vardır.
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı dışındaki değerler için reel kök oluşmayacağını belirlemek gerekir.
4
[0,2π][0, 2\pi] aralığında sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denklemini sağlayan kökler bulunur ve bu köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} olup, toplamları 7π6+11π6=3π\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 3\pi radyandır.
İstenen aralıktaki tüm kökleri bulup toplam değerine ulaşmak hedeflenir.

Key Concept

Trigonometrik Denklemler
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic