Examkin

Question

Difficulty: HardÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−2x−3)⋅(x2−4)2(x2−x−2)⋅(x2−9)≤0 \frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: -1

Answer

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Çarpanlarına ayrılmış eşitsizlikte sadeleştirmeler yapıldıktan sonra elde edilen (x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 ifadesinde kökler x=−3x = -3, x=−2x = -2 (çift katlı) ve x=2x = 2 olarak bulunur. İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık (−3,2](-3, 2] aralığıdır. Ancak ilk ifadede paydayı sıfır yapan x=−1x = -1, x=2x = 2 ve x=3x = 3 değerleri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Buradan çözüm kümesi S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −2-2, 00 ve 11 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırın.
(x−3)(x+1)(x−2)2(x+2)2(x−2)(x+1)(x−3)(x+3)≤0\frac{(x-3)(x+1)(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0
Ortak çarpanları ve kökleri belirleyebilmek için.
2
Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık oluşturan) xx değerlerini belirleyin.
x≠−3x \neq -3, x≠−1x \neq -1, x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamayacağı için bu değerler çözüm k��mesine dahil edilemez.
3
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
(x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 (burada x∉{−3,−1,2,3}x \notin \{-3, -1, 2, 3\})
İşaret incelemesini daha basit bir ifade üzerinden gerçekleştirmek için.
4
Sadeleşmiş ifadenin köklerini bulup işaret tablosunu hazırlayın.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı payda kökü), x=−2x = -2 (çift katlı pay kökü), x=2x = 2 (tek katlı pay kökü). İşaretler en sağdan sola doğru sırasıyla: (2,∞)→(+)(2, \infty) \rightarrow (+), (−2,2)→(−)(-2, 2) \rightarrow (-), (−3,−2)→(−)(-3, -2) \rightarrow (-), (−∞,−3)→(+)(-\infty, -3) \rightarrow (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri tespit etmek için.
5
İşaret tablosunu ve payda kısıtlamalarını birleştirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi: S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\}
Tablodaki negatif ve sıfır yapan bölgeler alınır ((−3,2](-3, 2]); ancak payda kökleri olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 bu kümeden çıkarılır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
x∈{−2,0,1}  ⟹  (−2)+0+1=−1x \in \{-2, 0, 1\} \implies (-2) + 0 + 1 = -1
Soruda istenen sonucu elde etmek için.

Key Concept

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde ortak çarpanların sadeleştirilmesi durumunda payda köklerinin tanımsızlık oluşturması nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması ve çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisi.
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic