Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)+3sin⁡(x)−2=0\cos(2x) + 3\sin(x) - 2 = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
  1. A
    2π3\frac{2\pi}{3}
  2. B
    π\pi
  3. C
    4π3\frac{4\pi}{3}
  4. 3π2\frac{3\pi}{2}Answer
  5. E
    2π2\pi

Answer

Verilen denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin doğru çözümü için cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) yazılarak ikinci dereceden 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (2sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0 olup kökleri sin⁡(x)=1/2\sin(x) = 1/2 ve sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 değerleridir. [0,2π][0, 2\pi] aralığında bu değerleri sağlayan açılar sırasıyla π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π2\frac{\pi}{2} radyandır. Köklerin toplamı ise π6+5π6+π2=3π2\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} olur.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesini sin⁡(x)\sin(x) cinsinden yazın.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) yazıldığında denklem 1−2sin⁡2(x)+3sin⁡(x)−2=01 - 2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2 = 0 haline gelir. Düzenlendiğinde 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 elde edilir.
Denklemdeki tüm trigonometrik ifadeleri aynı değişkene dönüştürerek çözülebilir bir ikinci dereceden denklem elde etmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın.
2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=0  ⟹  (2sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 \implies (2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0 elde edilir. Buradan sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanların her birini sıfıra eşitlemek.
3
Belirtilen [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki kökleri tespit edin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} için x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} bulunur. sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 için x=π2x = \frac{\pi}{2} bulunur.
Tanım kümesi aralığında denklemi sağlayan tüm x değerlerini bulmak.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayın.
Toplam=π6+5π6+π2=π+π2=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} radyan elde edilir.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüştürerek belirli bir aralıktaki köklerini bulma.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic