Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x(x2−2)=log⁡x2−2(x)\log_x(x^2 - 2) = \log_{x^2 - 2}(x)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

  1. A
    22
  2. B
    −2-2
  3. 1+51 + \sqrt{5}Answer
  4. D
    5+52\frac{5 + \sqrt{5}}{2}
  5. E
    5−1\sqrt{5} - 1

Answer

Denklemi sağlayan geçerli gerçel köklerin çarpımı 1+51 + \sqrt{5} değerine eşittir.
Denklemin tanım aralığı incelendiğinde x>2x > \sqrt{2} ve x≠3x \neq \sqrt{3} koşulları elde edilir. log⁡x(x2−2)=t\log_x(x^2 - 2) = t dönüşümüyle elde edilen t=1t = 1 ve t=−1t = -1 durumları çözüldüğünde, tanım aralığına uygun olan köklerin sadece 22 ve 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} olduğu görülür. Bu iki kökün çarpımı ise 1+51 + \sqrt{5} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirlemek için taban ve argüman kurallarını uygulayın.
x>2x > \sqrt{2} ve x≠3x \neq \sqrt{3} olmalıdır.
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritma içi (argümanı) ise pozitif olmalıdır. Buradan x>0x > 0, x≠1x \neq 1, x2−2>0  ⟹  x>2x^2 - 2 > 0 \implies x > \sqrt{2} ve x2−2≠1  ⟹  x≠3x^2 - 2 \neq 1 \implies x \neq \sqrt{3} koşulları birleştirilir.
2
log⁡x(x2−2)=t\log_x(x^2 - 2) = t değişken dönüşümünü yaparak denklemi düzenleyin.
t=1t  ⟹  t2=1  ⟹  t=1t = \frac{1}{t} \implies t^2 = 1 \implies t = 1 veya t=−1t = -1 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı gereği log⁡a(b)=1log⁡b(a)\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)} özelliğinden yararlanılır.
3
t=1t = 1 durumu için denklemi çözün ve tanım kümesine uygunluğunu inceleyin.
x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=2x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2 veya x=−1x = -1. Tanım kümesine göre sadece x=2x = 2 geçerlidir.
x=−1x = -1 değeri x>2x > \sqrt{2} koşulunu sağlamadığından elenir.
4
t=−1t = -1 durumu için denklemi çözün ve tanım kümesine uygunluğunu inceleyin.
x2−2=x−1  ⟹  x3−2x−1=0  ⟹  (x+1)(x2−x−1)=0x^2 - 2 = x^{-1} \implies x^3 - 2x - 1 = 0 \implies (x+1)(x^2 - x - 1) = 0 denkleminden x=1+52x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} kökü elde edilir.
x=−1x = -1 ve x=1−52x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} kökleri negatif olduğundan elenir. Pozitif olan x=1+52≈1.618x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 değeri 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414 ile 3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732 arasında kaldığı için tanım kümesine uygundur.
5
Bulunan geçerli köklerin çarpımını hesaplayın.
2⋅1+52=1+52 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5} bulunur.
Denklemin çözüm kümesi {2,1+52}\{2, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\} elemanlarından oluşur.

Key Concept

Değişken değiştirme yöntemiyle logaritmik denklemlerin çözümü ve tanım kümesi kontrolü.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic